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Distribuciones en el muestreo
Las estadísticas son variables aleatorias: tienen esperanza, variancia y distribución.
Conceptos
Concepto
Muestra aleatoria, estadística y distribución muestral
Muestra aleatoria: conjunto de \(n\) variables aleatorias independientes \(X_1,\dots,X_n\), cada una con la misma distribución \(f(x)\) que la variable en estudio.
Estadística: variable aleatoria definida como función de la muestra aleatoria (media, variancia, frecuencia relativa…). Su valor cambia de muestra a muestra.
Distribución muestral (o en el muestreo): la distribución de probabilidad de una estadística. Saber su esperanza, variancia y forma es lo que permite estimar y probar hipótesis.
Parámetro = número fijo y desconocido de la población (\(\pmu,\ \psig^2,\ \pp\)). Estadística = número calculado en la muestra (\(\bar x,\ s^2,\ h\)).
Estadísticas y sus distribuciones
Estadística
Media aritmética \(\bar X\)
Varía alrededor del promedio poblacional, y su dispersión baja a medida que crece \(n\).
Si la variable original es normal, \(X\sim N(\pmu_X;\psig_X)\), la media también lo es para cualquier \(n\). Restándole su esperanza y dividiendo por su desvío se obtiene \(Z\), la media estandarizada, que sigue una normal estándar (promedio 0, desvío 1):
$$E(\bar X)=E\Big(\tfrac1n\sum X_i\Big)=\tfrac1n\big[E(X_1)+\dots+E(X_n)\big]=\tfrac1n\,n\pmu_X=\pmu_X$$Linealidad de la esperanza; cada \(X_i\) tiene la distribución de \(X\).
$$V(\bar X)=\tfrac1{n^2}V\Big(\sum X_i\Big)=\tfrac1{n^2}\big[V(X_1)+\dots+V(X_n)\big]=\tfrac{1}{n^2}\,n\psig^2_X=\frac{\psig^2_X}{n}$$La constante sale al cuadrado; las \(X_i\) son independientes, así que la variancia de la suma es la suma de variancias.
Concepto · teorema
Teorema Central del Límite
Si \(X\) tiene cualquier distribución con promedio \(\pmu_X\) y desvío \(\psig_X\), para \(n\) suficientemente grande:
Regla práctica: la aproximación es válida para \(n\gt 30\). Cuanto más asimétrica es \(X\), mayor \(n\) se necesita. Si \(X\) ya es normal, \(\bar X\) es normal para cualquier \(n\).
Estadística
Frecuencia relativa \(h(A)\)
Sea \(A\) el suceso de interés, \(\pp=P(A)\) su probabilidad y \(\pq=1-\pp\). Se define \(X=1\) si ocurre \(A\) y \(X=0\) si no (variable de Bernoulli). Si \(f(A)\) es la frecuencia absoluta (cantidad de veces que ocurre \(A\) en las \(n\) repeticiones), entonces \(h(A)=\frac{f(A)}{n}=\frac{\sum X_i}{n}=\bar X\): la frecuencia relativa es una media aritmética.
$$E(X)=0\cdot \pq+1\cdot \pp=\pp$$Definición de esperanza de una variable discreta.
$$V(X)=(0-\pp)^2\pq+(1-\pp)^2\pp=\pp^2\pq+\pq^2\pp=\pp\pq(\pp+\pq)=\pp\pq$$Definición de variancia y \(\pp+\pq=1\).
$$E(h)=E(\bar X)=\pp,\qquad V(h)=V(\bar X)=\frac{V(X)}{n}=\frac{\pp\pq}{n}$$Resultados de la media aplicados a \(X\) de Bernoulli; la normalidad sale del TCL (en la práctica \(n\gt30\)).
Estadística
Variancia muestral \(S^2\)
La variancia muestral es \(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\). Se define \(U\), la variancia muestral estandarizada: \(S^2\) multiplicada por sus grados de libertad \(n-1\) y dividida por la variancia poblacional \(\psig_X^2\). Si \(X\sim N(\pmu_X;\psig_X)\), \(U\) sigue una distribución chi-cuadrado con \(n-1\) grados de libertad (\(\chi^2_{n-1}\)):
$$S^2=\frac{U\,\psig^2_X}{n-1},\qquad E(U)=n-1,\quad V(U)=2(n-1)$$Despeje de \(S^2\); esperanza y variancia de una chi-cuadrado son \(gl\) y \(2\,gl\).
$$E(S^2)=\frac{\psig^2_X}{n-1}E(U)=\frac{\psig^2_X}{n-1}(n-1)=\psig^2_X$$La constante sale de la esperanza.
$$V(S^2)=\Big(\frac{\psig^2_X}{n-1}\Big)^2V(U)=\frac{\psig^4_X}{(n-1)^2}\,2(n-1)=\frac{2\psig^4_X}{n-1}$$La constante sale al cuadrado de la variancia.
Estadística
Estadística T de Student
Cuando en la media estandarizada \(Z\) se reemplaza el desvío poblacional \(\psig_X\) (desconocido) por el muestral \(S\), la variable resultante \(T\) ya no es normal: sigue una t de Student con \(n-1\) grados de libertad (\(t_{n-1}\)):
$$Z=\frac{\bar X-\pmu_X}{\psig_X/\sqrt n}\sim N(0;1),\qquad U=\frac{(n-1)S^2}{\psig_X^2}\sim\chi^2_{n-1}$$Resultados anteriores; para \(X\) normal, \(Z\) y \(U\) son independientes.
$$T=\frac{Z}{\sqrt{U/(n-1)}}\sim t_{n-1}$$Definición de la variable T de Student.
$$T=\frac{\dfrac{\bar X-\pmu_X}{\psig_X/\sqrt n}}{\sqrt{\dfrac{S^2}{\psig^2_X}}}=\frac{\dfrac{\bar X-\pmu_X}{\psig_X/\sqrt n}}{S/\psig_X}=\frac{\bar X-\pmu_X}{S/\sqrt n}$$Reemplazo y simplificación: \(\psig_X\) se cancela.
Estadística
Cociente de variancias F de Snedecor
Se tienen dos poblaciones normales independientes, \(X_1\sim N(\pmu_1;\psig_1)\) y \(X_2\sim N(\pmu_2;\psig_2)\), y de cada una una muestra de tamaño \(n_1\) y \(n_2\), con variancias muestrales \(S_1^2\) y \(S_2^2\). El cociente de sus variancias estandarizadas sigue una F de Snedecor con \(n_1-1\) y \(n_2-1\) grados de libertad:
$$\frac{S_1^2/\psig_1^2}{S_2^2/\psig_2^2}\sim F_{n_1-1;\,n_2-1}\qquad\text{y si }\psig_1^2=\psig_2^2:\quad F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n_1-1;\,n_2-1}$$
Demostración
$$U_1=\frac{(n_1-1)S_1^2}{\psig_1^2}\sim\chi^2_{n_1-1},\qquad U_2=\frac{(n_2-1)S_2^2}{\psig_2^2}\sim\chi^2_{n_2-1}$$Distribución de la variancia muestral en cada población.
$$F=\frac{U_1/(n_1-1)}{U_2/(n_2-1)}=\frac{S_1^2/\psig_1^2}{S_2^2/\psig_2^2}$$Definición de F: cociente de chi-cuadrado independientes divididas por sus grados de libertad.
Si \(\psig_1^2=\psig_2^2\) las variancias poblacionales se cancelan y queda \(S_1^2/S_2^2\).
Control estadístico de calidad
Concepto
Causas de variación y control estadístico
Causas asignables: identificables y eliminables (operario sin capacitación, cambio de lote de reactivo, falta de calibración). Producen variaciones importantes.
Causas aleatorias: muchas causas pequeñas, inevitables e independientes (pequeñas variaciones ambientales o eléctricas).
Bajo control estadístico: se eliminaron las causas asignables y quedan solo las aleatorias.
Muestra control: material de referencia con nivel de analito certificado (\(\pmu\) conocido). Con el proceso bajo control, \(X\sim N(\pmu;\psig)\): \(\pmu\) y \(\psig\) son las especificaciones de calidad.
Fórmula
Carta de Shewhart para el valor medio
\(X\) es la determinación sobre la muestra control y \(\pmu\), \(\psig\) son las especificaciones de calidad. Con una determinación por control se grafica \(X\); con \(n\) determinaciones se grafica su media \(\bar X\). Los límites se ubican a \(k\) desvíos de la línea central \(\pmu\) (\(LI\): límite inferior; \(LS\): superior):
$$\text{Individual: }\ \pmu\pm k\,\psig\qquad\qquad \text{Media de }n:\ \pmu\pm k\,\frac{\psig}{\sqrt n}$$
\(k=1\): contiene el 68 % (sirve para detectar patrones).
\(k=2\) (exacto 1.96): límites de alerta, 95 %.
\(k=3\) (exacto 2.576 para 99 %): límites de acción, 99.73 %.
Demostración del límite inferior de alerta
$$P(X\lt LI_{Alerta})=0.025$$Se buscan los percentiles 2.5 y 97.5 de \(X\).
$$P\Big(Z\lt \frac{LI_{Alerta}-\pmu}{\psig}\Big)=0.025\ \Longrightarrow\ \frac{LI_{Alerta}-\pmu}{\psig}=z_{0.025}=-1.96$$Estandarización y percentil de la normal estándar.
$$LI_{Alerta}=\pmu-1.96\,\psig$$Despeje. Con medias de \(n\) se reemplaza \(\psig\) por \(\psig/\sqrt n\). Los de acción salen igual con \(z_{0.005}=-2.576\).
Fórmula
Carta de control de la precisión (variancia)
Se grafica la variancia muestral \(S^2\) de las \(n\) determinaciones de cada control; \(\psig^2\) es la variancia especificada del proceso y \(\chi^2_{n-1;\,q}\) el percentil \(q\) de la chi-cuadrado con \(n-1\) grados de libertad. Solo hay límites superiores (\(L_{Alerta}\) y \(L_{Acción}\)):
$$P(S^2\lt L_{Alerta})=0.95\Longrightarrow P\Big(\frac{(n-1)S^2}{\psig^2}\lt\frac{(n-1)L_{Alerta}}{\psig^2}\Big)=0.95$$Misma transformación a ambos lados.
$$\frac{(n-1)L_{Alerta}}{\psig^2}=\chi^2_{n-1;\,0.95}\Longrightarrow L_{Alerta}=\frac{\psig^2\chi^2_{n-1;0.95}}{n-1}$$El cociente es una \(\chi^2_{n-1}\); despeje.
Concepto
Reglas para detectar pérdida de control
Un punto fuera de los límites de acción (probabilidad 0.0027 si el proceso sigue bajo control).
Dos de tres puntos consecutivos entre los límites de alerta y de acción.
Cuatro de cinco puntos consecutivos fuera de los límites de \(k=1\).
Patrones no aleatorios: cíclico (rotación de analistas o equipos), cambio en el promedio (muchos puntos de un mismo lado, p. ej. nuevo lote de reactivo), tendencia creciente o decreciente (deterioro de un reactivo), estratificado (casi todo dentro de \(k=1\): el \(\psig\) real es menor que el usado).
En la carta de variancia: punto fuera del límite de acción o tendencia creciente.
Laboratorio interactivo
Gráfico interactivo
Calculadora de distribuciones: Z, t, χ² y F
Reemplaza a las tablas. Elegí la distribución y sus grados de libertad, y pedí un percentil o una probabilidad: el área sombreada es la probabilidad calculada. Arranca con \(\chi^2_{13;\,0.975}\), el percentil que usa el ejercicio 5.2.
Gráfico interactivo · simulación
Población, 1000 muestras y la distribución de la estadística
Se extraen 1000 muestras de tamaño \(n\) de la población elegida y en cada una se calcula \(\bar X\) o \(S^2\). Subí \(n\): el histograma se angosta (\(\psig/\sqrt n\)) y, por el TCL, la media se vuelve normal aunque la población sea asimétrica o bimodal. Con \(S^2\), la curva \(\chi^2\) solo ajusta si la población es normal.
Histograma de las 1000 muestrasDistribución teóricaValor del parámetro
Ejercicios resueltos
Ejercicio 4.1 Apunte teórico · U4, ejemplo de colesterol HDLlas preguntas de probabilidad son agregadas
¿Por qué conviene promediar? Colesterol HDL
La concentración de colesterol HDL en una población es \(X\sim N(50;\,3)\) mg/dL. Calcular la probabilidad de obtener un valor entre 49 y 51 mg/dL (a) con una sola determinación; (b) con la media de \(n=10\); (c) con la media de \(n=40\).
Resolución paso a paso
Una determinación: $$P(49\lt X\lt 51)=P\Big(\tfrac{49-50}{3}\lt Z\lt\tfrac{51-50}{3}\Big)=P(-0.33\lt Z\lt 0.33)=0.261$$
Media de 10: \(\sigma_{\bar X}=3/\sqrt{10}=0.949\). $$P(49\lt \bar X\lt 51)=P(-1.05\lt Z\lt 1.05)=0.708$$
Media de 40: \(\sigma_{\bar X}=3/\sqrt{40}=0.474\). $$P(-2.11\lt Z\lt 2.11)=0.965$$
Conclusión. La probabilidad de quedar a menos de 1 mg/dL del verdadero promedio pasa de 26 % a 71 % y a 96.5 %: el desvío de la media se divide por \(\sqrt n\).
Ejercicio 4.2 Libro de práctica · cap. 4, ej. 1el inciso (c) es agregado
Germinación de semillas de girasol
El 61 % de una población de semillas germina en una semana. Se toma una muestra de 200 semillas y germinan 130. (a) ¿0.61 es parámetro o estadística? (b) Calcular \(h\) y su distribución. (c) ¿Qué tan probable es observar \(h\ge 0.65\)?
Resolución paso a paso
\(\pp=0.61\) es un parámetro (describe la población). \(h=130/200=0.65\) es una estadística: otra muestra de 200 daría otro valor.
Con \(n=200\gt30\): $$h\sim N\Big(0.61;\ \sqrt{\tfrac{0.61\cdot0.39}{200}}\Big)=N(0.61;\ 0.0345)$$
Conclusión. En un 12 % de las muestras de 200 semillas se observaría una germinación de 65 % o más; el resultado es compatible con \(\pp=0.61\).
Ejercicio 4.3 Apunte teórico · U4, ejemplos 2 y 3 (glucosa)los valores del inciso (b) son de ejemplo
Cartas de control para glucosa con tres alícuotas diarias
Muestra control de glucosa con \(\pmu=80\) y \(\psig=1.5\) mg/100mL; cada día se procesan \(n=3\) alícuotas. (a) Construir las cartas de la media y de la variancia. (b) Valores de ejemplo: dos días seguidos con medias 81.9 y 82.1, y un día con \(s^2=11.2\). ¿Qué se concluye?
Carta de variancia, \(gl=2\), \(\chi^2_{2;0.95}=5.99\), \(\chi^2_{2;0.99}=9.21\): $$L_{Alerta}=\frac{1.5^2\cdot5.99}{2}=6.74\qquad L_{Acción}=\frac{1.5^2\cdot9.21}{2}=10.36\ (\text{mg/100mL})^2$$
81.9 y 82.1 están entre alerta (81.73) y acción (82.60): se cumple “dos de tres puntos consecutivos entre alerta y acción”. Además \(s^2=11.2\gt10.36\).
Conclusión. Ambas cartas indican la aparición de una causa asignable: no se informan los resultados de pacientes hasta revisar el proceso.
Ejercicios integradores
Ejercicio 4.4 Libro de práctica · cap. 4, ej. 9Integrador
Comprimidos fuera de especificación: ¿normal o binomial?
El 8 % de una población de comprimidos no cumple con las especificaciones de la Farmacopea. (a) Calcular la probabilidad de que, en una muestra de 150 comprimidos, el porcentaje fuera de especificación sea menor o igual al 10 %. (b) Calcular la misma probabilidad para una muestra de 10. (c) ¿Se usó el mismo procedimiento en (a) y en (b)? Justificar.
Resolución paso a paso
Sea \(A\) = “el comprimido no cumple”, con \(\pp=0.08\) y \(\pq=0.92\). La estadística es la frecuencia relativa \(h=f(A)/n\), con \(E(h)=\pp\) y \(V(h)=\pp\pq/n\).
(a) n = 150. Como \(n\gt30\), por el TCL \(h\) es aproximadamente normal: $$h\sim N\Big(0.08;\ \sqrt{\tfrac{0.08\cdot0.92}{150}}\Big)=N(0.08;\ 0.0222)$$ $$P(h\le0.10)=P\Big(Z\le\frac{0.10-0.08}{0.0222}\Big)=P(Z\le0.90)=0.8159$$
(b) n = 10. Con \(n\le30\) no vale el TCL. Se usa la distribución exacta de la frecuencia absoluta: \(f(A)\sim\text{Binomial}(10;\ 0.08)\). Como \(h\le0.10\iff f(A)\le1\): $$P(f(A)\le1)=0.92^{10}+10\cdot0.08\cdot0.92^{9}=0.4344+0.3777=0.8121$$
(c) No: en (a) se aproximó la distribución de \(h\) por una normal; en (b) se usó la binomial exacta. Si en (b) se hubiera usado la normal, con \(\sigma_h=\sqrt{0.08\cdot0.92/10}=0.0858\) se obtendría \(P(Z\le0.23)=0.592\), muy lejos del valor correcto 0.8121.
Conclusión. La probabilidad es 0.816 con n = 150 y 0.812 con n = 10. La aproximación normal de \(h\) requiere muestras grandes; con muestras chicas hay que trabajar con la binomial.
Ejercicio 4.5 Libro de práctica · cap. 4, ej. 11Integrador
Colesterol sérico: cartas de la media y de la variancia durante 20 días
Un método enzimático para colesterol sérico fue puesto bajo control. Se usa una mezcla control con \(\pmu=210\) mg/dL y \(\psig=3\) mg/dL, con tres determinaciones diarias. (a) Construir los gráficos de control. (b) Con las medias y variancias de los 20 días siguientes, ¿puede concluirse que el proceso siguió bajo control?
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x̄
209.7
211.3
206.7
211.0
210.0
211.7
209.0
207.7
210.0
210.0
s²
6.33
9.33
2.33
12.03
16.00
6.33
12.00
4.33
4.00
12.00
Día
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x̄
211.3
211.3
210.0
207.7
209.7
208.7
212.0
209.7
211.3
209.3
s²
2.33
12.33
7.00
2.33
5.33
6.33
3.00
2.33
6.33
41.33
Resolución paso a paso
Carta de la media (media de \(n=3\)): \(\psig/\sqrt n=3/\sqrt3=1.732\) y límites \(210\pm k\cdot1.732\).
Límite
k
Inferior
Superior
68 %
1
208.27
211.73
Alerta
2
206.54
213.46
Acción
3
204.80
215.20
Carta de la variancia, con \(gl=n-1=2\): $$L_{Alerta}=\frac{3^2\cdot\chi^2_{2;0.95}}{2}=\frac{9\cdot5.99}{2}=26.96\qquad L_{Acción}=\frac{9\cdot9.21}{2}=41.45\ (\text{mg/dL})^2$$
Medias. Ninguna sale de los límites de alerta. Solo los días 3 (206.7), 8 (207.7), 14 (207.7) y 17 (212.0) caen fuera de \(k=1\), en forma aislada: nunca 4 de 5 consecutivos. Hay 9 medias debajo de 210, 7 encima y 4 iguales, sin rachas ni tendencias.
Variancias. Las 19 primeras están por debajo de 26.96. El día 20, \(s^2=41.33\) queda entre el límite de alerta y el de acción, muy cerca de este último.
Conclusión. En los 20 días el proceso siguió bajo control estadístico: ningún punto superó un límite de acción ni aparecieron patrones. Pero la precisión del día 20 está al borde: conviene vigilar los días siguientes, porque otro punto entre alerta y acción indicaría pérdida de control.
5
Estimación de parámetros
Estimación puntual y por intervalo de confianza; tamaño de muestra.
Conceptos
Concepto
Estimador y estimación
Estimador de \(\theta\): variable aleatoria función de la muestra, \(\hat\theta=g(X_1,\dots,X_n)\). Estimación: el valor observado del estimador una vez obtenida la muestra.
Ejemplo del apunte: con 40 individuos se obtuvo \(\bar x=50.3\) mg/dL; 50.3 es una estimación del promedio de colesterol HDL.
Concepto
Propiedades de un buen estimador
Insesgado: \(E(\hat\theta)=\theta\).
Consistente (entre los insesgados): \(V(\hat\theta)\to0\) cuando \(n\to+\infty\).
Parámetro
Estimador
Esperanza
Variancia
\(\pmu_X\)
\(\bar X\)
\(\pmu_X\)
\(\psig^2_X/n\)
\(\psig^2_X\)
\(S^2_X\)
\(\psig^2_X\)
\(2\psig^4_X/(n-1)\)
\(\pp=P(A)\)
\(h(A)\)
\(\pp\)
\(\pp\pq/n\)
Por qué se divide por \(n-1\) y no por \(n\)
$$S'^2=\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2=\frac{n-1}{n}S^2$$Relación entre ambas versiones.
$$E(S'^2)=\frac{n-1}{n}E(S^2)=\frac{n-1}{n}\psig^2_X\ \lt\ \psig^2_X$$\(S'^2\) es sesgado: subestima la variancia poblacional. \(S^2\) es insesgado.
Concepto
Intervalo de confianza: pasos e interpretación
Definir el parámetro \(\theta\).
Elegir un buen estimador \(\hat\theta\).
Fijar la confianza \(1-\alpha\) (habitual: 0.90, 0.95, 0.99).
Definir una variable \(Y\) que contenga a \(\theta\) y \(\hat\theta\), de distribución conocida (con otros parámetros conocidos).
Plantear \(P(y_{\alpha/2}\le Y\le y_{1-\alpha/2})=1-\alpha\) y despejar \(\theta\).
Tomar la muestra y calcular \((a;\,b)\).
Concluir con confianza \(1-\alpha\) que \((a;\,b)\) cubre a \(\theta\).
Si se repitiera el muestreo muchas veces, el \((1-\alpha)\cdot100\)% de los intervalos cubriría al verdadero \(\theta\). No es “la probabilidad de que \(\theta\) esté en este intervalo”: \(\theta\) es fijo; lo aleatorio es el intervalo.
La semiamplitud \(d\) (margen de error) mide la precisión: a mayor confianza, intervalo más ancho; a mayor \(n\), más angosto.
Fórmulas
Fórmula · IC
IC para \(\pmu\), población normal con \(\psig\) conocida
Por el TCL vale para cualquier \(X\) con \(\psig\) conocida si \(n\) es grande.
Demostración
$$P\Big(z_{\alpha/2}\le\frac{\bar X-\pmu_X}{\psig_X/\sqrt n}\le z_{1-\alpha/2}\Big)=1-\alpha$$\(Z\sim N(0;1)\) contiene al parámetro y al estimador.
$$P\Big(z_{\alpha/2}\tfrac{\psig_X}{\sqrt n}\le\bar X-\pmu_X\le z_{1-\alpha/2}\tfrac{\psig_X}{\sqrt n}\Big)=1-\alpha$$Se multiplica por \(\psig_X/\sqrt n\gt0\).
$$P\Big(\bar X-z_{\alpha/2}\tfrac{\psig_X}{\sqrt n}\ge\pmu_X\ge\bar X-z_{1-\alpha/2}\tfrac{\psig_X}{\sqrt n}\Big)=1-\alpha$$Se resta \(\bar X\) y se multiplica por \(-1\) (se invierten las desigualdades).
$$P\Big(\bar X-z_{1-\alpha/2}\tfrac{\psig_X}{\sqrt n}\le\pmu_X\le\bar X+z_{1-\alpha/2}\tfrac{\psig_X}{\sqrt n}\Big)=1-\alpha$$Simetría de la normal: \(z_{\alpha/2}=-z_{1-\alpha/2}\).
Mayor confianza, mayor precisión (menor \(d\)) o población más heterogénea (mayor \(\psig\)) exigen mayor \(n\). Se redondea hacia arriba. Si \(\psig\) es desconocido, se usa un valor de estudios previos o de una muestra piloto.
Fórmula · IC
IC para \(\pmu\), población normal con \(\psig\) desconocida
$$P\Big(t_{n-1;\alpha/2}\le\frac{\bar X-\pmu_X}{S_X/\sqrt n}\le t_{n-1;1-\alpha/2}\Big)=1-\alpha$$\(T\sim t_{n-1}\) reemplaza a \(Z\) porque \(\psig_X\) se estima con \(S_X\).
Despejando igual que con \(Z\) y usando la simetría \(t_{n-1;\alpha/2}=-t_{n-1;1-\alpha/2}\) se obtiene \(\bar X\pm t_{n-1;1-\alpha/2}S_X/\sqrt n\).
$$P\Big(\frac{\chi^2_{n-1;\alpha/2}}{(n-1)S^2_X}\le\frac1{\psig^2_X}\le\frac{\chi^2_{n-1;1-\alpha/2}}{(n-1)S^2_X}\Big)=1-\alpha$$Se divide por \((n-1)S^2_X\gt0\).
$$P\Big(\frac{(n-1)S^2_X}{\chi^2_{n-1;1-\alpha/2}}\le\psig^2_X\le\frac{(n-1)S^2_X}{\chi^2_{n-1;\alpha/2}}\Big)=1-\alpha$$Se toman recíprocos (se invierten las desigualdades) y se reordena.
\(\pp'\) sale de estudios previos o de una muestra piloto. Opción conservadora: \(\pp'=0.5\), que maximiza \(\pp'\pq'\) y da el mayor \(n\).
Demostración
$$Z=\frac{h-\pp}{\sqrt{h(1-h)/n}}\sim N(0;1)$$TCL; la variancia \(\pp\pq/n\) depende del parámetro, así que se reemplazan \(\pp\) y \(\pq\) por \(h\) y \(1-h\).
$$P\Big(h-z_{1-\alpha/2}\sqrt{\tfrac{h(1-h)}{n}}\le\pp\le h+z_{1-\alpha/2}\sqrt{\tfrac{h(1-h)}{n}}\Big)=1-\alpha$$Mismo despeje que para la media, con \(z_{\alpha/2}=-z_{1-\alpha/2}\).
Laboratorio interactivo
Gráfico interactivo · simulación
¿Qué significa “90 % de confianza”?
Cincuenta muestras de una solución de sodio con \(\pmu=2\) mg/L y \(\psig=0.2\) mg/L, como en el ejercicio 4 del libro. Cada barra es un intervalo; en rojo los que no cubren a \(\pmu\). Generá varias veces: el porcentaje acumulado se acerca a la confianza elegida. Cambiá la confianza o \(n\) para ver cómo cambia la amplitud.
Cubre a μNo cubre a μμ = 2 mg/L
Ejercicios resueltos
Ejercicio 5.1 Libro de práctica · cap. 5, ej. 3
Rendimiento de una nueva variedad de maíz
Rendimientos (qq/ha) en 12 parcelas del sur de Santa Fe; se supone distribución normal. Estimar el rendimiento promedio en forma puntual y con un IC del 95 %.
\(\psig\) desconocida y \(n=12\): se usa \(t_{11;\,0.975}=2.201\). $$81.33\pm2.201\cdot\frac{9.70}{\sqrt{12}}=81.33\pm6.16$$
IC: \((75.17;\ 87.50)\) qq/ha.
Conclusión. Con 95 % de confianza, el intervalo (75.2; 87.5) qq/ha cubre el rendimiento promedio de la variedad en la zona.
Ejercicio 5.2 Libro de práctica · cap. 5, ej. 6
Capacidad antioxidante (FRAP) en frambuesas salvajes
Valores FRAP (µg Fe/g peso seco) en 14 frambuesas; variable normal. (a) Estimar puntualmente promedio y variancia. (b) IC 99 % para el promedio. (c) IC 95 % para la variancia. (d) ¿Qué \(n\) reduce a la mitad la amplitud de (b)?
Nuevo margen \(d=2.29/2=1.146\); con \(\psig\approx s\): \(n=\big(\frac{2.576\cdot2.848}{1.146}\big)^2=40.9\Rightarrow n=41\).
Conclusión. Promedio entre 13.2 y 17.8 µg Fe/g (99 %), variancia entre 4.3 y 21.1 (95 %). Para duplicar la precisión hacen falta 41 frambuesas: reducir \(d\) a la mitad casi triplica \(n\).
Ejercicio 5.3 Libro de práctica · cap. 5, ej. 7
Hábitos alimenticios inadecuados
Se quiere estimar la proporción de personas con hábitos inadecuados en una ciudad. (a) Tamaño de muestra para 95 % de confianza y margen 4 %, si en un piloto 12 de 40 los tenían. (b) En 500 personas, 124 los tienen: estimar.
Conclusión. Con 95 % de confianza, entre el 21.0 % y el 28.6 % de la población tiene hábitos inadecuados.
Ejercicios integradores
Ejercicio 5.4 Libro de práctica · cap. 5, ej. 4Integrador
Veinte alícuotas de sodio: cobertura y amplitud de los intervalos
Para estimar la concentración de sodio de una solución se hacen 9 determinaciones sobre una alícuota. El experimento se repite con 20 alícuotas de la misma solución. El libro da los 18 intervalos de las demás alícuotas; faltan los de las alícuotas 4 y 15 (mg/L):
Alícuota 4
1.98
1.88
2.11
1.62
1.39
2.15
1.70
1.99
1.95
Alícuota 15
2.16
1.83
1.89
1.75
2.03
1.98
1.72
1.87
1.95
(a) IC del 90 % para las alícuotas 4 y 15 con \(\psig=0.2\) mg/L. (b) Si el verdadero valor es 2 mg/L, ¿qué proporción de los 20 intervalos lo cubre? (c) Repetir suponiendo \(\psig\) desconocido. (d) Con IC del 95 %, ¿cómo cambia la amplitud y cuántos intervalos se espera que cubran al verdadero valor? (e) ¿Qué pasa con la amplitud si aumenta el número de determinaciones por alícuota?
Resolución paso a paso
(a) σ conocido. \(z_{0.95}=1.645\) y \(\psig/\sqrt n=0.2/3=0.0667\): semiamplitud \(d=1.645\cdot0.0667=0.110\), igual para todas las alícuotas.
$$\text{Alícuota 4: }\bar x=1.863\Rightarrow(1.753;\ 1.973)\qquad\text{Alícuota 15: }\bar x=1.909\Rightarrow(1.799;\ 2.019)$$
(b) Con \(\pmu=2\), no lo cubren la alícuota 2 \((2.020;\ 2.240)\) ni la 4 \((1.753;\ 1.973)\): cubren 18 de 20, es decir el 90 %, igual a la confianza. Es lo esperable: el 90 % de los intervalos construidos así cubre a \(\pmu\) a la larga.
(c) σ desconocido. Se usa \(t_{8;0.95}=1.860\) y el desvío de cada alícuota: $$\text{Alícuota 4: }s=0.248\Rightarrow 1.863\pm1.860\cdot\tfrac{0.248}{3}=(1.709;\ 2.017)$$ $$\text{Alícuota 15: }s=0.139\Rightarrow 1.909\pm1.860\cdot\tfrac{0.139}{3}=(1.823;\ 1.995)$$ Ahora las amplitudes cambian de una alícuota a otra porque \(s\) varía. No cubren la alícuota 2 \((2.013;\ 2.247)\) y la 15: otra vez 18 de 20 (90 %), aunque fallan intervalos distintos.
(d) 95 %. Los intervalos son más anchos: con σ conocido la semiamplitud pasa de 0.110 a \(1.96\cdot0.0667=0.131\); con σ desconocido el valor crítico pasa de 1.860 a \(t_{8;0.975}=2.306\). Se espera que cubran 19 de los 20.
(e) La semiamplitud es \(z\,\psig/\sqrt n\) (o \(t\,s/\sqrt n\)): al aumentar \(n\) con la misma confianza, los intervalos se angostan en proporción a \(1/\sqrt n\); con σ desconocido además baja el percentil t.
Conclusión. La confianza no es una propiedad de un intervalo en particular sino del procedimiento: en ambos casos 18 de 20 intervalos cubren al verdadero valor. Más confianza implica intervalos más anchos; más determinaciones, intervalos más angostos.
Ejercicio 5.5 Libro de práctica · cap. 5, ej. 15Integrador
Componente activo de comprimidos: planificar la muestra y estimar
Se quiere estimar el contenido promedio del componente activo de un producto. La variable es normal con \(\psig=0.0068\) g. (a) ¿Cuántos comprimidos hay que procesar para estimar con margen de error 0.005 g y confianza del 99 %? (b) Estimar por intervalo con los resultados obtenidos (g):
0.8403
0.8363
0.8447
0.8490
0.8352
0.8471
0.8312
0.8412
0.8456
0.8369
0.8478
0.8302
Resolución paso a paso
(a) Con \(z_{0.995}=2.576\): $$n=\Big(\frac{z_{0.995}\,\psig}{d}\Big)^2=\Big(\frac{2.576\cdot0.0068}{0.005}\Big)^2=12.27\Rightarrow n=13$$ Siempre se redondea hacia arriba, para no superar el margen pedido.
(b) Con los 12 valores: \(\bar x=0.84046\) g. Como \(\psig\) es conocido se usa \(z\): $$0.84046\pm2.576\cdot\frac{0.0068}{\sqrt{12}}=0.84046\pm0.00506\Rightarrow(0.8355;\ 0.8455)\ \text{g}$$
Con 12 comprimidos (uno menos que lo planificado) el margen resulta 0.00506 g, apenas mayor que el 0.005 pedido: por eso el cálculo de (a) daba 13.
Conclusión. Con 99 % de confianza, el contenido promedio del componente activo está entre 0.8355 y 0.8455 g.
6
Pruebas de hipótesis en base a una muestra
Promedio, proporción y variancia; errores, potencia y tamaño muestral.
Conceptos
Concepto
Hipótesis nula y alternativa
\(H_0\): afirmación sobre el parámetro que representa el status quo; se supone cierta y no se rechaza salvo evidencia suficiente. \(H_1\): la pregunta de investigación, que contradice a \(H_0\).
Conclusiones posibles: rechazar \(H_0\) (conclusión fuerte, \(\alpha\) acotado) o no rechazar \(H_0\) (conclusión débil, \(\beta\) no acotado). Por eso no se dice “se acepta \(H_0\)”.
Analogía del juicio: \(H_0\) “inocente”, \(H_1\) “culpable”. No condenar por falta de pruebas no demuestra la inocencia.
Simple: un solo valor (\(\pmu=50\)). Compuesta: varios (\(\pmu\gt50\)).
Unilateral derecha (\(H_1:\theta\gt\theta_0\)), izquierda (\(\theta\lt\theta_0\)) o bilateral (\(\theta\ne\theta_0\)): define la cola de la región de rechazo.
Con \(n\) fijo, bajar \(\alpha\) sube \(\beta\). Solo aumentar \(n\) baja ambos.
Se fija \(\alpha\) (nivel de significación: 0.01, 0.05, 0.10) y se construye la región de rechazo; \(\beta\) depende del verdadero valor del parámetro.
La potencia crece cuanto más lejos esté \(\pmu_1\) de \(\pmu_0\), cuanto menor sea \(\psig\) y cuanto mayor sea \(n\).
Concepto
Estadística base, región de rechazo y probabilidad asociada
Estadística base: función de la muestra en la que se apoya la decisión. Región crítica: valores de la estadística que llevan a rechazar \(H_0\). Valor crítico \(c_\alpha\): separa las regiones; se deduce de \(P(E_I)=\alpha\).
Probabilidad asociada (valor p): probabilidad de observar un valor de la estadística igual o más extremo que el obtenido, suponiendo \(H_0\) cierta. Regla única para todos los tests: rechazar \(H_0\) si \(p_{asoc}\le\alpha\).
Pasos: (1) hipótesis, (2) \(\alpha\), (3) estadística base y su distribución bajo \(H_0\), (4) región de rechazo, (5) muestra y valor observado, (6) decisión y conclusión en términos del problema.
$$\frac{c_\alpha-\pmu_0}{\psig/\sqrt n}=z_{1-\alpha}\Rightarrow c_\alpha=\pmu_0+z_{1-\alpha}\frac{\psig}{\sqrt n}$$Percentil de la normal estándar y despeje. En el bilateral se reparte \(\alpha/2\) a cada cola.
Fórmula · potencia
Error tipo II, potencia y tamaño de muestra
Para \(H_0:\pmu=\pmu_0\) vs \(H_1:\pmu\gt\pmu_0\), si el verdadero promedio es \(\pmu_1\):
La misma fórmula de \(n\) vale para la prueba unilateral izquierda.
Demostración de la fórmula de \(n\)
$$P(\bar X\lt c_\alpha\mid\pmu=\pmu_1)=\beta$$Definición de error tipo II en esta prueba.
$$P\Big(Z\lt\frac{\pmu_0+z_{1-\alpha}\psig/\sqrt n-\pmu_1}{\psig/\sqrt n}\Big)=P\Big(Z\lt\frac{\pmu_0-\pmu_1}{\psig/\sqrt n}+z_{1-\alpha}\Big)=\beta$$Se reemplaza \(c_\alpha\) y se estandariza bajo \(H_1\).
$$-z_{1-\beta}=\frac{\pmu_0-\pmu_1}{\psig}\sqrt n+z_{1-\alpha}$$El miembro derecho es el percentil \(z_\beta=-z_{1-\beta}\).
$$\sqrt n=\frac{(-z_{1-\beta}-z_{1-\alpha})\psig}{\pmu_0-\pmu_1}\Rightarrow n=\frac{(z_{1-\alpha}+z_{1-\beta})^2\psig^2}{(\pmu_0-\pmu_1)^2}$$Despeje y cuadrado.
Fórmula · test
Test para \(\pmu\) con \(\psig\) desconocida (t de Student)
En el test se usa \(\pp_0\pq_0\) (el valor de \(H_0\)); en el intervalo se usa \(h(1-h)\).
Demostración del valor crítico (derecha)
$$P(h\ge c_\alpha\mid\pp=\pp_0)=\alpha\Rightarrow P\Big(Z\ge\frac{c_\alpha-\pp_0}{\sqrt{\pp_0\pq_0/n}}\Big)=\alpha$$Error tipo I y normalidad de \(h\) bajo \(H_0\).
$$c_\alpha=\pp_0+z_{1-\alpha}\sqrt{\frac{\pp_0\pq_0}{n}}$$Percentil y despeje.
Fórmula · test
Test para \(\psig^2\) de una población normal
\(H_0:\psig^2=\psig_0^2\) vs \(H_1:\psig^2\gt\psig_0^2\) (pérdida de precisión):
$$u_{obs}=\frac{(n-1)s^2_{obs}}{\psig^2_0}\qquad\text{rechazar si }u_{obs}\ge\chi^2_{n-1;1-\alpha}\ \Leftrightarrow\ s^2_{obs}\ge\frac{\chi^2_{n-1;1-\alpha}\,\psig_0^2}{n-1}$$
Demostración
$$P(S^2\ge c_\alpha\mid\psig^2=\psig^2_0)=\alpha\Rightarrow P\Big(\frac{(n-1)S^2}{\psig^2_0}\ge\frac{(n-1)c_\alpha}{\psig^2_0}\Big)=\alpha$$Se multiplican ambos miembros por la misma constante.
$$\frac{(n-1)c_\alpha}{\psig^2_0}=\chi^2_{n-1;1-\alpha}\Rightarrow c_\alpha=\frac{\chi^2_{n-1;1-\alpha}\psig^2_0}{n-1}$$\(U\sim\chi^2_{n-1}\); percentil y despeje.
Laboratorio interactivo
Gráfico interactivo
Regiones de rechazo, α, β y potencia
Test para \(\pmu\) con \(\psig\) conocida. La curva azul es la distribución de \(\bar X\) si \(H_0\) es cierta; la naranja, si el verdadero promedio es \(\pmu_1\). Mové \(\pmu_1\), \(n\), \(\psig\) o \(\alpha\) y mirá cómo se reparten las áreas. Los valores iniciales son los del ejercicio de hepcidina (6.2).
α: rechazar con H₀ ciertaβ: no rechazar con H₁ ciertaPotencia 1 − βp asociadaregión de rechazono rechazo
Ejercicios resueltos
Ejercicio 6.1 Libro de práctica · cap. 6, ej. 3
Arsénico en agua: ¿hace falta ósmosis inversa?
El máximo aceptado es 0.05 mg/L. Se midió durante 10 días (mg/L). ¿Hay evidencia de superar el máximo con \(\alpha=0.05\)? ¿Y con \(\alpha=0.01\)?
0.072
0.062
0.067
0.069
0.080
0.036
0.086
0.081
0.076
0.022
Resolución paso a paso
\(H_0:\pmu\le0.05\) vs \(H_1:\pmu\gt0.05\) (se instala el equipo solo con evidencia).
\(t_{9;0.95}=1.833\); valor crítico en mg/L: \(c_\alpha=0.05+1.833\cdot0.0206/\sqrt{10}=0.0619\). \(\bar x=0.0651\ge0.0619\).
\(p_{asoc}=P(T\ge2.32)=0.0227\).
Con \(\alpha=0.01\): \(t_{9;0.99}=2.821\gt2.32\) y \(p=0.0227\gt0.01\): no se rechaza.
Conclusión. Con 5 % de significación hay evidencia de que el arsénico promedio supera 0.05 mg/L y se recomienda instalar el equipo (p = 0.023). Con 1 % la evidencia no alcanza.
Ejercicio 6.2 Libro de práctica · cap. 6, ej. 5
Hepcidina en portadores de talasemia
En la población general el promedio es 21 ng/mL. Se midió en 12 portadores. (a) ¿Es menor en portadores? (\(\alpha=0.05\)). (b) Potencia si el verdadero promedio es 17 ng/mL (\(\psig=5\)). (c) ¿Qué \(n\) da potencia 0.95?
7.2
5.2
15.4
14.1
16.2
20.5
10.8
13.5
9.5
12.1
11.75
23.1
Resolución paso a paso
El gráfico de probabilidad normal del libro muestra puntos alineados: se acepta normalidad. \(H_0:\pmu=21\) vs \(H_1:\pmu\lt21\).
Conclusión. La hepcidina promedio en portadores es significativamente menor que 21 ng/mL (p < 0.001). Con 12 pacientes, la prueba detecta una baja a 17 ng/mL con probabilidad 0.87; para 0.95 se necesitan 17 pacientes.
Ejercicio 6.3 Libro de práctica · cap. 6, ej. 7
Efectos secundarios de un analgésico
De 440 pacientes con artritis, 23 tuvieron algún efecto secundario. ¿Puede suponerse que el porcentaje es menor que 10 %? (\(\alpha=0.05\)). Estimar la proporción con 95 %.
Resolución paso a paso
\(H_0:\pp=0.10\) vs \(H_1:\pp\lt0.10\). \(h=23/440=0.0523\).
IC 95 %: $$0.0523\pm1.96\sqrt{\frac{0.0523\cdot0.9477}{440}}=0.0523\pm0.0208$$ es decir \((0.031;\ 0.073)\).
Conclusión. Hay evidencia de que menos del 10 % de los pacientes sufre efectos secundarios (p = 0.0004); se estima entre 3.1 % y 7.3 %.
Ejercicios integradores
Ejercicio 6.4 Libro de práctica · cap. 6, ej. 4Integrador
Malatión: ¿cambiar de proveedor? Tamaño de muestra, test, potencia e IC
Para una curva de calibración se usa malatión de pureza 99.2 %. Un proveedor B ofrece un producto de mayor pureza. La pureza es normal con \(\psig=0.1\) %. (a) Formular las hipótesis. (b) Número mínimo de determinaciones para tener probabilidad 0.05 de recomendar el cambio cuando la pureza es igual a la habitual, y 0.01 de seguir con el proveedor habitual cuando la de B es mayor en 0.15 %. (c) Ensayar las hipótesis con 10 determinaciones de B. (d) La potencia con 10 determinaciones, ¿es mayor o menor que 0.99? (e) Si se rechaza \(H_0\), estimar la pureza de B con IC del 95 %.
99.35
99.37
99.25
99.32
99.44
99.18
99.22
99.28
99.41
99.15
Resolución paso a paso
(a) \(H_0:\pmu=99.2\) % vs \(H_1:\pmu\gt99.2\) %. Solo se cambia de proveedor con evidencia de mayor pureza.
(b) \(\alpha=0.05\) (\(z_{0.95}=1.645\)), \(\beta=0.01\) (\(z_{0.99}=2.326\)) y \(\pmu_1=99.35\): $$n=\frac{(1.645+2.326)^2\cdot0.1^2}{(99.2-99.35)^2}=7.01$$ El libro informa 7 determinaciones.
(d) Con 10 determinaciones (más de las 7 necesarias) la potencia supera 0.99: $$1-\beta=P(\bar X\ge99.252\mid\pmu=99.35)=P\Big(Z\ge\frac{99.252-99.35}{0.0316}\Big)=P(Z\ge-3.10)=0.999$$
Conclusión. Hay evidencia de que el producto de B es más puro (p = 0.001), y la prueba tenía potencia de sobra para detectarlo. Su pureza promedio está entre 99.24 % y 99.36 % (95 %): se recomienda el cambio de proveedor.
Ejercicio 6.5 Libro de práctica · cap. 6, ej. 9Integrador
Creatinina: exactitud y precisión del método enzimático
Se hicieron 30 mediciones repetidas de creatinina sobre una solución de 0.8 mg/dL, con \(\bar x=0.81\) mg/dL y \(s=0.025\) mg/dL. (a) Ensayar la hipótesis de que solo hay errores aleatorios (\(\alpha=0.01\)). (b) La variabilidad máxima aceptada es un coeficiente de variación del 5 %. ¿Hay evidencia para rechazar que el proceso cumple esta especificación? (\(\alpha=0.05\)).
Resolución paso a paso
(a) Exactitud. “Solo errores aleatorios” significa sin error sistemático: el promedio de las mediciones es el valor verdadero. \(H_0:\pmu=0.8\) vs \(H_1:\pmu\ne0.8\) (bilateral).
$$t_{obs}=\frac{0.81-0.8}{0.025/\sqrt{30}}=2.19\qquad t_{29;0.995}=2.756\qquad p_{asoc}=2P(T\ge2.19)=0.0367$$ Como \(|t_{obs}|\lt2.756\) (y \(p\gt0.01\)), no se rechaza \(H_0\).
(b) Precisión. CV del 5 % sobre 0.8 mg/dL: \(\psig_0=0.05\cdot0.8=0.04\) mg/dL, \(\psig_0^2=0.0016\). \(H_0:\psig^2\le0.0016\) vs \(H_1:\psig^2\gt0.0016\).
$$u_{obs}=\frac{(n-1)s^2}{\psig_0^2}=\frac{29\cdot0.025^2}{0.0016}=11.33\qquad\chi^2_{29;0.95}=42.56\qquad p_{asoc}=0.9987$$ No se rechaza \(H_0\). El CV observado es \(0.025/0.81=3.1\) %.
Conclusión. Con 1 % de significación no hay evidencia de error sistemático (aunque con 5 % sí la habría, p = 0.037). La precisión cumple holgadamente la especificación: el CV observado es 3.1 %.
7
Diseño de experimentos y dos muestras
Muestras independientes y dependientes; pruebas clásicas y no paramétricas.
Conceptos
Concepto
Vocabulario del diseño de experimentos
Variable respuesta: lo que se mide (tiempo hasta desaparecer los síntomas).
Factor: lo que distingue a las poblaciones comparadas (antibiótico). Niveles: sus modalidades (tetraciclina, penicilina).
Tratamiento: combinación de niveles aplicada a una unidad. Unidad experimental: mínima porción de material a la que se aplica un tratamiento (paciente).
Concepto
DCA y DBCA: muestras independientes o dependientes
Diseño completamente aleatorizado (DCA): unidades homogéneas, repartidas al azar entre los niveles → muestras independientes. También surgen al comparar grupos naturales (mujeres de distintas etnias).
Diseño en bloques completos aleatorizados (DBCA): unidades heterogéneas agrupadas en bloques homogéneos; cada bloque recibe todos los tratamientos al azar → muestras dependientes. Caso extremo: la misma unidad medida antes y después.
Muestras independientes
Fórmula · test
Comparación de variancias: razón F
Se coloca la variancia muestral mayor en el numerador (si \(s_1^2\gt s_2^2\)): \(H_0:\psig_1^2=\psig_2^2\) vs \(H_1:\psig_1^2\gt\psig_2^2\).
$$F_{obs}=\frac{s^2_1}{s^2_2}\qquad\text{rechazar si }F_{obs}\ge F_{n_1-1;\,n_2-1;\,1-\alpha},\quad p=P(F\ge F_{obs})$$
Demostración
$$\frac{S_1^2/\psig_1^2}{S_2^2/\psig_2^2}\sim F_{n_1-1;n_2-1}\ \overset{H_0}{\Longrightarrow}\ \frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n_1-1;n_2-1}$$Cociente de chi-cuadrado sobre sus gl; bajo \(H_0\) se cancelan las variancias.
$$P\Big(\frac{S_1^2}{S_2^2}\ge c_\alpha\Big)=\alpha\Rightarrow c_\alpha=F_{n_1-1;n_2-1;1-\alpha}$$Percentil de la F.
Notación de la unidad 7: el segundo parámetro de la normal es la variancia. Si \(H_0\) postula una diferencia \(\delta\ne0\), se resta \(\delta\) en el numerador.
Demostración
Combinación lineal de normales independientes: si \(Y_1,\dots,Y_m\) son \(m\) variables normales independientes con promedios \(\mu_j\) y variancias \(\sigma_j^2\), y \(a_j\) son constantes reales, la combinación \(W=\sum_{j=1}^m a_jY_j\) es normal: \(W\sim N\big(\sum a_j\mu_j;\sum a_j^2\sigma_j^2\big)\). Con \(a_1=1,\ a_2=-1\) se obtiene la distribución de \(\bar X_1-\bar X_2\).
$$P(\bar X_1-\bar X_2\ge c_\alpha\mid\pdm=0)=\alpha\Rightarrow c_\alpha=z_{1-\alpha}\sqrt{\tfrac{\psig_1^2}{n_1}+\tfrac{\psig_2^2}{n_2}}$$Estandarización y percentil (unilateral derecha).
Fórmula · test
Variancias desconocidas e iguales: t con variancia amalgamada
Primero se hace la prueba F. Si no se rechaza la igualdad:
\(s_a^2\) es un promedio ponderado de las variancias muestrales. Derecha: \(t_{obs}\ge t_{n_1+n_2-2;1-\alpha}\); izquierda: \(\le -t\); bilateral: \(|t_{obs}|\ge t_{n_1+n_2-2;1-\alpha/2}\).
Fórmula · test
Variancias desconocidas y diferentes: test de Welch
$$h_1-h_2\sim N\Big(\pp_1-\pp_2;\ \frac{\pp_1\pq_1}{n_1}+\frac{\pp_2\pq_2}{n_2}\Big)$$TCL (\(n_i\gt30\)) y combinación lineal de normales.
$$\overset{H_0}{\Longrightarrow}\ h_1-h_2\sim N\Big(0;\ \pp\pq\big(\tfrac1{n_1}+\tfrac1{n_2}\big)\Big)$$Con \(\pp_1=\pp_2=\pp\); se estima \(\pp\) con \(h\).
$$c_\alpha=z_{1-\alpha}\sqrt{h(1-h)\big(\tfrac1{n_1}+\tfrac1{n_2}\big)}$$Error tipo I, estandarización y percentil (derecha).
Muestras dependientes
Fórmula · test
Comparación de promedios pareados: \(\pmd\)
Se calcula la diferencia en cada bloque, \(d_i=x_{1i}-x_{2i}\), y se supone \(D\sim N(\pmd;\psig_D^2)\). Es un test t de una muestra sobre las diferencias:
$$\bar D\sim N\Big(\pmd;\frac{\psig^2_D}{n}\Big),\quad \frac{(n-1)S^2_D}{\psig^2_D}\sim\chi^2_{n-1}\Rightarrow T=\frac{\bar D-\pmd}{S_D/\sqrt n}\sim t_{n-1}$$Igual que la T de una muestra.
$$P(\bar D\ge c_\alpha\mid\pmd=0)=\alpha\Rightarrow\frac{c_\alpha}{s_D/\sqrt n}=t_{n-1;1-\alpha}$$Error tipo I y percentil de la t (derecha).
Fórmula · test
Dos proporciones con muestras dependientes
Solo informan los \(n'=f(A,\bar A)+f(\bar A,A)\) bloques con respuestas distintas. Bajo \(H_0:\pp_1=\pp_2\), entre ellos la probabilidad de “A con tratamiento 1 y no con el 2” es 0.5:
\(H_1:\pp_1\gt\pp_2\) equivale a \(\pp'_1\gt0.5\) (derecha); \(\pp_1\lt\pp_2\) a \(\pp'_1\lt0.5\); \(\ne\) es bilateral.
Pruebas no paramétricas
Concepto · rangos
Wilcoxon suma de rangos (independientes, Mann-Whitney)
Cuando \(X_1\) o \(X_2\) no son normales. Hipótesis sobre la localización. Se ordenan las \(n=n_1+n_2\) observaciones y se asignan rangos 1…n (empates: promedio de rangos).
Si \(H_1\): población 2 desplazada a la derecha, rechazar si \(w_1\le w_{1;\alpha}\) (o \(w_2\ge w_{2;1-\alpha}\)). Si la 1 está a la derecha, \(w_1\ge w_{1;1-\alpha}\). Valores críticos de tabla.
Ejemplo del apunte: muestras 25, 26, 27, 28, 30 y 29, 31, 32, 35 dan \(w_1=16\), \(w_2=29\), con suma \(45=9\cdot10/2\).
Concepto · rangos
Wilcoxon rangos-signos (dependientes)
Cuando \(D\) no es normal. Se descartan las diferencias nulas, se ordenan por valor absoluto y se asignan rangos.
$$T^-=\sum\text{rangos de }d_j\lt0,\quad T^+=\sum\text{rangos de }d_j\gt0,\quad T^-+T^+=\frac{n'(n'+1)}2$$
Bilateral: \(T=\min(T^-,T^+)\); rechazar si \(t_{obs}\le t_\alpha\).
\(X_1\) a la derecha de \(X_2\): rechazar si \(t^-_{obs}\le t_\alpha\). \(X_2\) a la derecha: \(t^+_{obs}\le t_\alpha\).
Laboratorio interactivo
Gráfico interactivo · simulación
Dos muestras independientes: de la F al test t
Definí dos poblaciones normales y el tamaño de cada muestra. El gráfico sigue el procedimiento de la unidad: primero la prueba F de variancias (mayor arriba), y según su resultado el t con variancia amalgamada o el test de Welch, bilateral con \(\alpha=0.05\). Valores iniciales parecidos al ejemplo tetraciclina vs penicilina.
Grupo 1Grupo 2Región de rechazo (α = 0.05)p asociada
Ejercicios resueltos
Ejercicio 7.1 Libro de práctica · datos del cap. 7, ej. 2(a)el libro solo pide identificar factor y variable; la prueba es agregada
Tetraciclina vs penicilina
Veinte ratas infectadas: 10 tratadas con tetraciclina y 10 con penicilina. Tiempo (h) hasta desaparecer los síntomas. ¿Difieren los tiempos promedio? (\(\alpha=0.05\), poblaciones normales).
\(H_0:\pdm=0\) vs \(H_1:\pdm\ne0\): $$t_{obs}=\frac{39.2-55.3}{16.54\sqrt{0.2}}=-2.18,\quad |t_{obs}|\ge t_{18;0.975}=2.101,\quad p=0.043$$
Conclusión. Con 5 % de significación, el tiempo promedio de desaparición de síntomas difiere entre antibióticos; con tetraciclina es menor (16 h menos en promedio).
Ejercicio 7.2 Libro de práctica · cap. 7, ej. 17datos de CVF, retomados en el cap. 8, ej. 11
Capacidad vital forzada: inicio vs 6 meses
CVF (%) en 10 niños al inicio y a los 6 meses de tratamiento. ¿Mejora la CVF promedio? (\(\alpha=0.05\), diferencias normales).
Inicio
94.7
92.1
95.2
91.1
93.5
94.2
95.1
88.9
90.1
87.7
6 meses
98.8
96.5
94.9
98.0
94.9
93.9
98.0
93.1
95.3
90.1
d
4.1
4.4
−0.3
6.9
1.4
−0.3
2.9
4.2
5.2
2.4
Resolución paso a paso
Cada niño es un bloque: muestras dependientes. \(d=\) 6 meses − inicio. \(H_0:\pmd=0\) vs \(H_1:\pmd\gt0\).
Conclusión. Hay evidencia de que el tratamiento aumenta la CVF promedio a los 6 meses (aumento medio estimado de 3.1 puntos, p = 0.001). Comparar como muestras independientes ignoraría la variabilidad entre niños.
Ejercicio 7.3 Apunte teórico · U7, ejemplo de rangos-signos de Wilcoxon
Rangos-signos de Wilcoxon en 10 bloques
Diez pares de observaciones sin normalidad de las diferencias. ¿Difiere la localización de las distribuciones? (bilateral, \(\alpha=0.05\); valor crítico de tabla para \(n'=10\): \(t_{0.05}=8\)).
Bloque
X1
X2
D
Rango
1
80.0
96.5
−16.5
8
2
42.0
40.0
2.0
2
3
57.2
46.7
10.5
6
4
92.0
43.5
48.5
9
5
44.0
35.5
8.5
5
6
35.0
29.8
5.2
4
7
50.0
65.0
−15.0
7
8
32.0
34.5
−2.5
3
9
29.0
30.5
−1.5
1
10
90.0
29.0
61.0
10
Resolución paso a paso
Rangos por valor absoluto de \(D\) (no hay ceros, \(n'=10\)).
Conclusión. No se rechaza \(H_0\): no hay evidencia de diferencia en la localización (con software, p ≈ 0.43).
Ejercicios integradores
Ejercicio 7.4 Libro de práctica · cap. 7, ej. 7Integrador
Rendimiento de dos variedades de soja: F, t e intervalo para la diferencia
Se compara el rendimiento de una variedad de soja de ciclo intermedio y otra de ciclo largo en el noroeste argentino, con lotes elegidos al azar en la misma región:
Variedad
n
x̄ (kg/ha)
s (kg/ha)
Ciclo intermedio
15
3001.3
201.5
Ciclo largo
19
2741.8
174.3
(a) ¿Hay evidencia de que el rendimiento promedio difiere según la variedad? Informar la probabilidad asociada. (b) IC del 95 % para la diferencia de promedios. (c) Supuestos requeridos.
Resolución paso a paso
Muestras independientes (lotes distintos). Primero, las variancias, con la mayor arriba: $$F_{obs}=\frac{201.5^2}{174.3^2}=1.336\lt F_{14;18;0.95}=2.29\qquad p=0.278$$ No se rechaza \(\psig_1^2=\psig_2^2\): se usa la variancia amalgamada.
\(H_0:\pdm=0\) vs \(H_1:\pdm\ne0\): $$t_{obs}=\frac{3001.3-2741.8}{186.69\sqrt{\frac1{15}+\frac1{19}}}=\frac{259.5}{64.48}=4.02\gt t_{32;0.975}=2.037\qquad p=0.0003$$
(b) $$259.5\pm2.037\cdot64.48=259.5\pm131.3\Rightarrow(128.2;\ 390.8)\ \text{kg/ha}$$ El libro da (127.95; 391.04) por redondeo del percentil de tabla.
(c) Rendimiento normal en ambas variedades, muestras aleatorias e independientes y variancias iguales (verificado con la prueba F).
Conclusión. Los rendimientos promedio difieren (p = 0.0003): la variedad de ciclo intermedio rinde entre 128 y 391 kg/ha más que la de ciclo largo (95 %). Como el intervalo no contiene al 0, coincide con el rechazo de \(H_0\).
Ejercicio 7.5 Libro de práctica · cap. 7, ej. 11Integrador
Transfusiones con glóbulos rojos frescos: medias y proporciones
En un estudio multicéntrico, 1211 pacientes críticos recibieron glóbulos rojos guardados menos de 8 días (grupo I) y 1219 glóbulos conservados más tiempo (grupo II). Se compararon la hemoglobina basal y la mortalidad a 90 días:
Grupo
n
Hb media (g/dL)
Desvío
Muertes
I
1211
7.69
1.28
430
II
1219
7.76
1.01
448
(a) ¿Puede concluirse que los grupos no difieren en su hemoglobina basal? (b) Los autores concluyen que los glóbulos frescos no disminuyen la mortalidad. Comprobarlo.
Resolución paso a paso
(a) Variancias. $$F_{obs}=\frac{1.28^2}{1.01^2}=1.606\qquad p\lt0.0001$$ Con muestras tan grandes, incluso esta diferencia es significativa: las variancias difieren y se usa el test de Welch.
Promedios (\(H_0:\pdm=0\) vs \(H_1:\pdm\ne0\)): $$t_{obs}=\frac{7.69-7.76}{\sqrt{\frac{1.28^2}{1211}+\frac{1.01^2}{1219}}}=\frac{-0.07}{0.0468}=-1.50\qquad f\approx2297\qquad p=0.135$$ No se rechaza \(H_0\): los grupos son comparables en hemoglobina basal, como se busca en un ensayo aleatorizado.
(b) Mortalidad. \(h_1=430/1211=0.355\) y \(h_2=448/1219=0.368\). “Los frescos disminuyen la mortalidad” sería \(H_1:\pp_1\lt\pp_2\). Bajo \(H_0\) se estima la proporción común con la muestra total: \(h=878/2430=0.361\).
Conclusión. Los grupos parten de la misma hemoglobina promedio (p = 0.135) y no hay evidencia de que los glóbulos frescos reduzcan la mortalidad (p = 0.26): los datos respaldan la conclusión de los autores.
8
ANOVA: más de dos muestras
Unifactorial a efectos fijos, balanceado, en DCA y DBCA.
Conceptos
Concepto
Análisis de la variancia y notación
Se descompone la variabilidad total en fuentes para comparar \(I\) promedios a la vez. Efectos fijos: interesan exactamente los niveles estudiados. Efectos aleatorios: niveles sorteados de una población de niveles. Diseño balanceado: \(J\) observaciones por nivel.
$$F=\frac{CM_{Trat}}{CM_{Error}}\overset{H_0}{\sim}F_{I-1;\,IJ-I}\qquad\text{rechazar si }F_{obs}\ge F_{I-1;IJ-I;1-\alpha}\ \text{ o }\ p=P(F\ge F_{obs})\le\alpha$$
La región de rechazo es siempre unilateral derecha: un \(F\) grande indica que los niveles explican mucha variabilidad. Un \(F\) muy menor que 1 puede señalar un factor no controlado.
FV
SC
gl
CM
F
p
Tratamiento
\(SC_{Trat}\)
\(I-1\)
\(CM_{Trat}\)
\(CM_{Trat}/CM_{Error}\)
\(P(F\ge F_{obs})\)
Error
\(SC_{Error}\)
\(IJ-I\)
\(CM_{Error}\)
Total
\(SC_{Total}\)
\(IJ-1\)
Demostración de la distribución F y el valor crítico
$$\frac{SC_{Trat}}{\psig^2}\overset{H_0}{\sim}\chi^2_{I-1},\qquad\frac{SC_{Error}}{\psig^2}\sim\chi^2_{IJ-I}$$\(SC_{Error}=\sum_i(J-1)S^2_{i\cdot}\); bajo \(H_0\) todos los \(\pai{i}=0\).
$$F=\frac{SC_{Trat}/[\psig^2(I-1)]}{SC_{Error}/[\psig^2(IJ-I)]}=\frac{CM_{Trat}}{CM_{Error}}\sim F_{I-1;IJ-I}$$Definición de F; se cancela \(\psig^2\).
$$P(F\ge c_\alpha\mid H_0)=\alpha\Rightarrow c_\alpha=F_{I-1;IJ-I;1-\alpha}$$Percentil de la F.
Concepto
Comparaciones múltiples
Si se rechaza \(H_0\), se busca cuáles promedios difieren comparando de a pares (\(\pmi{i}=\pmi{j}\) vs \(\ne\)) con el error tipo I controlado globalmente: Tukey, Scheffé, Dunnett, Bonferroni, Duncan, LSD.
Lectura: niveles con asteriscos alineados en la misma columna no difieren; si no comparten columna, difieren. En el gráfico de intervalos, intervalos que se solapan indican que no hay diferencia significativa.
Bloquear quita grados de libertad al error: conviene solo si los bloques son realmente heterogéneos. Como los bloques no se asignan al azar, la prueba de efecto bloque se interpreta con precaución.
Al elevar al cuadrado y sumar en \(i\) y \(j\), los tres dobles productos se anulan porque las desviaciones de medias de fila, de columna y los residuos suman cero en cada fila y en cada columna.
Grados de libertad: $$IJ-1=(I-1)+(J-1)+(I-1)(J-1)$$
Laboratorio interactivo
Gráfico interactivo · simulación
ANOVA: variabilidad entre y dentro de los grupos
Cuatro niveles con promedios \(\pmi{i}\) y un \(\psig\) común. Las líneas finas son los desvíos dentro de cada grupo (\(SC_{Error}\)); las gruesas, los desvíos de cada media respecto de la media general (\(SC_{Trat}\)). Acercá las medias o subí \(\psig\) y mirá cómo cae \(F\). Valores iniciales: medias del ejercicio de aminas (8.3).
Desvío dentro (Y − ȳᵢ.)Desvío entre (ȳᵢ. − ȳ..)Media general
Ejercicios resueltos
Ejercicio 8.1 Libro de práctica · cap. 8, ej. 2
Gases carbónicos en cuatro zonas industriales
Cinco lecturas por zona (mg/m³). ¿Difiere el nivel promedio entre zonas? (\(\alpha=0.05\)).
A
0.047
0.039
0.051
0.048
0.046
B
0.032
0.036
0.031
0.030
0.035
C
0.019
0.021
0.018
0.022
0.017
D
0.041
0.037
0.038
0.047
0.048
Resolución paso a paso
Modelo \(Y_{ij}=\pmu+\pai{i}+\varepsilon_{ij}\), \(i\)=zona (A–D), \(j\)=lectura (1–5). Los gráficos de residuos del libro no muestran desvíos de normalidad ni de homocedasticidad.
Medias: A 0.0462, B 0.0328, C 0.0194, D 0.0422. Residuo de la 3.ª lectura de B: \(0.031-0.0328=-0.0018\).
FV
SC
gl
CM
F
p
Zona
0.002127
3
0.000709
50.28
<0.0001
Error
0.000226
16
0.0000141
Total
0.002353
19
\(F_{3;16;0.95}=3.24\).
Scheffé (α = 0.05): C (0.0194) < B (0.0328) < D (0.0422) = A (0.0462).
Conclusión. Hay efecto zona (p < 0.0001). Las zonas A y D tienen los niveles más altos y no difieren entre sí; B es intermedia y C la menos contaminada.
Ejercicio 8.2 Libro de práctica · cap. 8, ej. 4
Soluciones de lavado en contenedores de leche (DBCA)
Tres soluciones, un ensayo de cada una por día durante 6 días (cada día es un bloque). Número de colonias. Trabajar con \(\alpha=0.01\) y comparar con el análisis sin bloques.
Solución
D1
D2
D3
D4
D5
D6
1
13
22
18
39
22
19
2
16
24
17
44
25
28
3
5
4
1
22
7
15
Resolución paso a paso
Factor: solución (3 niveles); bloque: día (6); respuesta: número de colonias. Modelo \(Y_{ij}=\pmu+\pai{i}+\pbj{j}+\varepsilon_{ij}\).
FV
SC
gl
CM
F
p
Solución
926.78
2
463.39
44.89
<0.0001
Día
1118.94
5
223.79
21.68
<0.0001
Error
103.22
10
10.32
Total
2148.94
17
\(F_{2;10;0.99}=7.56\): se rechaza \(H_0\).
Scheffé (α = 0.01): solución 3 (9.0) < soluciones 1 (22.2) y 2 (25.7), que no difieren.
Sin bloques, la SC de días pasa al error: \(SC_{Error}=1222.17\), 15 gl, \(CM=81.48\), \(F=5.69\), \(p=0.0145\gt0.01\) (\(F_{2;15;0.99}=6.36\)).
Conclusión. La solución 3 es la que más retarda el crecimiento bacteriano. El efecto día es significativo: sin bloquear, con α = 0.01 no se habría detectado diferencia entre soluciones.
Ejercicio 8.3 Libro de práctica · cap. 8, ej. 8
Aminas antifúngicas sobre hongos xilófagos
Crecimiento micelial (cm) con tres aminas y un control, 6 réplicas. Dados \(CM_{Trat}=48.5556\) y \(SC_{Error}=19.9467\), completar la tabla y concluir (\(\alpha=0.05\)).
Control
8.6
10.5
12.5
10.3
11.4
9.3
DMA4
8.3
9.6
7.7
8.1
8.8
7.5
DMA12
5.6
6.4
3.7
5.8
5.0
5.3
DMA16
3.9
4.5
3.6
4.0
5.6
3.6
Resolución paso a paso
\(I=4\), \(J=6\): gl Trat = 3, gl Error = 20, gl Total = 23. \(SC_{Trat}=3\cdot48.5556=145.67\).
Tukey: diferencia mínima \(q_{4;20;0.05}\sqrt{CM_E/J}=3.958\cdot0.408=1.61\). DMA16 (4.20) y DMA12 (5.30) difieren en 1.10: no significativo. DMA4 (8.33) y Control (10.43) difieren de todos.
Conclusión. Las tres aminas reducen el crecimiento respecto del control (p < 0.0001), y las de cadena mediana y larga son las más efectivas. Los datos respaldan la afirmación de los autores.
Ejercicios integradores
Ejercicio 8.4 Libro de práctica · cap. 8, ej. 5Integrador
Paracetamol: ¿miden lo mismo los cinco analistas?
Se molieron comprimidos a polvo fino homogéneo y cada uno de cinco analistas hizo seis determinaciones del contenido de paracetamol (% p/p). (a) Identificar factor, niveles y variable. (b) Escribir la ecuación modelo. (c) Completar el análisis y concluir, con comparaciones de Tukey (\(\alpha=0.05\)).
A
84.32
84.51
84.63
84.61
84.64
84.51
B
84.24
84.25
84.41
84.13
84.00
84.30
C
84.29
84.40
84.68
84.28
84.40
84.36
D
84.14
84.22
84.02
84.48
84.27
84.33
E
84.50
84.20
84.49
84.40
84.11
84.06
Resolución paso a paso
(a) Factor: analista, con 5 niveles (A a E). Variable respuesta: contenido de paracetamol (% p/p). Las unidades son alícuotas de un mismo polvo homogéneo: diseño completamente aleatorizado, \(I=5\), \(J=6\).
(b) \(Y_{ij}=\pmu+\pai{i}+\varepsilon_{ij}\), con \(\varepsilon_{ij}\sim NI(0;\psig^2)\); \(\pai{i}\) es el efecto del analista \(i\). \(H_0:\pmi{A}=\dots=\pmi{E}\).
(c) Los gráficos de residuos del libro no muestran desvíos de normalidad ni de homocedasticidad.
FV
SC
gl
CM
F
p
Analista
0.4080
4
0.1020
4.29
0.0089
Error
0.5948
25
0.0238
Total
1.0028
29
\(F_{obs}=4.29\gt F_{4;25;0.95}=2.76\): se rechaza \(H_0\).
Tukey. Diferencia mínima significativa: $$q_{5;25;0.05}\sqrt{CM_{Error}/J}=4.153\sqrt{0.0238/6}=0.262$$ Medias: B 84.222, D 84.243, E 84.293, C 84.402, A 84.537. Solo A − B = 0.315 y A − D = 0.293 superan 0.262. Grupos homogéneos: {B, D, E, C} y {E, C, A}.
Conclusión. Los analistas no obtienen en promedio el mismo resultado (p = 0.009): A mide más que B y D, y no hay evidencia de diferencias entre los demás pares. Conviene revisar el procedimiento de esos analistas.
Ejercicio 8.5 Libro de práctica · cap. 8, ej. 9Integrador
Metilmercurio en pescado: tres técnicas en bloques
Se comparan tres técnicas: absorción atómica de vapor frío (A), emisión óptica (B) y espectrometría de masas (C). En cada una de 8 muestras de músculo de pescado se midió la concentración con las tres (ng/g). (a) Ecuación modelo. (b) Hipótesis nula. (c) Supuestos y residuo de la observación 11.3. (d) Cuadro ANOVA y Scheffé. (e) ¿Qué se habría concluido sin considerar la variación entre muestras?
Muestra
1
2
3
4
5
6
7
8
A
10.2
15.8
9.3
28.5
33.6
51.2
21.5
41.5
B
11.3
16.3
7.0
35.4
28.3
60.3
19.2
39.2
C
14.5
20.4
10.1
37.2
41.2
65.8
29.6
51.2
Resolución paso a paso
(a) Cada muestra de pescado es un bloque (recibe las tres técnicas): DBCA con \(I=3\) técnicas y \(J=8\) bloques. \(Y_{ij}=\pmu+\pai{i}+\pbj{j}+\varepsilon_{ij}\), \(\varepsilon_{ij}\sim NI(0;\psig^2)\).
(b) \(H_0:\pmi{A}=\pmi{B}=\pmi{C}\): las tres técnicas miden en promedio lo mismo.
(c) Supuestos: errores normales, independientes y de variancia constante en técnicas y bloques. Para 11.3 (técnica B, muestra 1): $$e_{21}=Y_{21}-\bar Y_{2\cdot}-\bar Y_{\cdot1}+\bar Y_{\cdot\cdot}=11.3-27.125-12.0+29.108=1.283$$
(d)
FV
SC
gl
CM
F
p
Técnica
260.36
2
130.18
12.71
0.0007
Muestra
6123.26
7
874.75
85.43
<0.0001
Error
143.36
14
10.24
Total
6526.98
23
\(F_{2;14;0.95}=3.74\): se rechaza \(H_0\). Scheffé: A (26.45) y B (27.13) forman un grupo; C (33.75) da valores mayores.
(e) Sin bloques, la SC de muestras pasa al error: \(SC_{Error}=143.36+6123.26=6266.62\) con 21 gl, \(CM_{Error}=298.41\), \(F=130.18/298.41=0.44\), \(p=0.65\). No se detectaría ninguna diferencia.
Conclusión. La espectrometría de masas da en promedio concentraciones mayores que las otras dos técnicas, que no difieren entre sí. La variabilidad entre muestras de pescado es enorme: sin el diseño en bloques ese efecto habría quedado oculto.
9
Regresión y correlación lineal
Recta de regresión, inferencia sobre sus coeficientes, R² y coeficiente de Pearson.
Conceptos
Concepto
Regresión vs correlación
Regresión: una variable aleatoria respuesta \(Y\) depende de una variable controlada explicativa \(x\) (fijada por el investigador). Ej.: absorbancia en función de la concentración de un patrón.
Correlación: dos variables aleatorias medidas sobre la misma unidad, sin roles; interesa la intensidad de la relación (peso y altura; sodio medido por dos métodos).
Siempre se empieza por el diagrama de dispersión. Una relación determinista (\(y=5000+2500x\)) no deja variabilidad; una estocástica sí, y requiere un modelo con error.
Son los valores que minimizan la suma de residuos al cuadrado: la recta que pasa lo más cerca posible de todos los puntos a la vez.
Demostración (ecuaciones normales)
$$SC_{Error}(a,b)=\sum(y_i-a-bx_i)^2\to\min$$Criterio de mínimos cuadrados.
$$\frac{\partial}{\partial a}=-2\sum(y_i-a-bx_i)=0\Rightarrow\sum y_i=na+b\sum x_i\Rightarrow a=\bar y-b\bar x$$Derivada respecto de \(a\) igualada a cero.
$$\frac{\partial}{\partial b}=-2\sum x_i(y_i-a-bx_i)=0\Rightarrow\sum x_iy_i=a\sum x_i+b\sum x_i^2$$Derivada respecto de \(b\).
La precisión de \(\hat y_0\) empeora al alejarse \(x_0\) de \(\bar x\). Solo se estima dentro del rango de \(x\) estudiado (no extrapolar).
Demostración del IC para \(\pb\)
$$T=\frac{B-\pb}{\sqrt{CM_{Error}/[(n-1)s^2_x]}}\sim t_{n-2}$$Se estandariza \(B\) y se reemplaza \(\psig^2\) por \(CM_{Error}\).
$$P\big(-t_{n-2;1-\alpha/2}\le T\le t_{n-2;1-\alpha/2}\big)=1-\alpha$$Dos valores que dejan \(\alpha/2\) en cada cola.
$$P\Big(B-t\sqrt{\tfrac{CM_E}{(n-1)s^2_x}}\le\pb\le B+t\sqrt{\tfrac{CM_E}{(n-1)s^2_x}}\Big)=1-\alpha$$Se multiplica, se resta \(B\) y se multiplica por \(-1\).
Concepto
Adecuación del modelo: análisis de residuos
Linealidad: residuos vs \(x\) sin patrón curvo.
Normalidad: gráfico de probabilidad normal de los residuos alineado.
Homocedasticidad: residuos vs \(x\) dentro de una banda de ancho constante (un embudo indica variancia creciente).
Independencia: se garantiza con el diseño (mismo equipo, unidades distintas, sin tendencia temporal).
Proporción de la variabilidad de \(Y\) explicada por la recta. \(R^2=1\): ajuste perfecto; \(R^2=0\): recta horizontal \(\hat y=\bar y\). Un \(R^2\) alto no garantiza linealidad: siempre mirar los residuos.
El ANOVA solo prueba \(\pb\ne0\); el t permite unilaterales. En el bilateral \(t_{obs}^2=F_{obs}\) y coinciden los p. Para \(\pa\) suele interesar si la recta pasa por el origen.
FV
SC
gl
CM
F
Regresión
\(SC_{Reg}\)
1
\(SC_{Reg}/1\)
\(CM_{Reg}/CM_{Error}\)
Error
\(SC_{Error}\)
\(n-2\)
\(SC_{Error}/(n-2)\)
Total
\(SC_{Total}\)
\(n-1\)
Demostración del valor crítico (t, derecha)
$$P(B\ge c_\alpha\mid\pb=0)=\alpha\Rightarrow P\Big(T\ge\frac{c_\alpha-0}{\sqrt{CM_E/[(n-1)s^2_x]}}\Big)=\alpha$$Error tipo I y construcción de la T.
$$c_\alpha=t_{n-2;1-\alpha}\sqrt{\frac{CM_{Error}}{(n-1)s^2_x}}$$Percentil de la t y despeje.
\(b_1\) y \(b_2\) tienen el mismo signo. Con \(|r|=1\) las rectas coinciden; con \(r=0\) son perpendiculares (\(\hat y=\bar y\), \(\hat x=\bar x\)).
Laboratorio interactivo
Gráfico interactivo
Regresión por mínimos cuadrados: arrastrá los puntos
Arrastrá cualquier punto o tocá un lugar vacío para agregar uno. La recta, los residuos, la banda de confianza del 95 % para \(\pmyx\), \(R^2\), \(r\) y la prueba de \(\pb=0\) se recalculan al instante. Probá alejar un solo punto de la recta y mirá cuánto cambia la pendiente.
Observacionesŷ = a + bxResiduosBanda IC 95 %x̂ = a₂ + b₂y
Ejercicios resueltos
Ejercicio 9.1 Libro de práctica · cap. 9, ej. 2
Curva de calibración de almidón en azúcar
Absorbancia de estándares de almidón (mg/kg). (a) Recta de mínimos cuadrados. (b) Residuo en \(x=100\). (c) ¿Pasa la recta por el origen? (\(\alpha=0.05\)).
\(CM_{Error}=1.6245\times10^{-5}/7=2.32\times10^{-6}\). $$t_{obs}=\frac{0.0254}{\sqrt{2.32\times10^{-6}\big(\frac19+\frac{225.83^2}{386550}\big)}}=\frac{0.0254}{0.000751}=33.83$$ \(t_{7;0.975}=2.365\), p < 0.0001.
Conclusión. \(\hat y=0.0254+0.000493\,x\). Se rechaza \(\pa=0\): la recta no pasa por el origen (hay absorbancia de fondo de unas 0.025 unidades). Cada mg/kg de almidón aumenta la absorbancia en promedio 0.000493.
Ejercicio 9.2 Libro de práctica · cap. 9, ej. 3
Cafeína por HPLC: calibración y predicción inversa
Área del pico vs concentración de cafeína (ppm). (a) Recta. (b) Probar \(\pb=0\) (\(\alpha=0.05\)). (c) \(R^2\). (d) Concentración para un área de 520. (e) ¿Y para 2500?
Para 2500 daría ≈ 40 ppm, muy fuera del rango estudiado (2 a 16 ppm): no es confiable extrapolar.
Conclusión. Hay regresión lineal significativa y la recta explica el 99.9 % de la variabilidad del área. Una muestra con área 520 tiene unas 8.3 ppm de cafeína.
Ejercicio 9.3 Libro de práctica · cap. 9, ej. 9
Co-expresión de dos genes en Arabidopsis
Expresión de ARNm de dos genes en 10 condiciones experimentales. Ambas variables son aleatorias: analizar su asociación.
Gen 1
445
1284
723
3045
203
1009
1132
1894
834
2300
Gen 2
9045
16943
6534
30928
3698
11960
13850
20394
20394
25290
Resolución paso a paso
Es un problema de correlación (sin variable controlada). El diagrama de dispersión muestra relación lineal directa.
Rectas: \(\hat y=4437.39+8.910\,x\) y \(\hat x=-217.34+0.0946\,y\). Verificación: \(\sqrt{8.910\cdot0.0946}=0.918\).
\(r^2=0.843\).
Conclusión. Asociación lineal directa e intensa (\(r=0.918\)): los genes presentan co-expresión, y el 84 % de la variabilidad de uno se asocia linealmente al otro.
Ejercicios integradores
Ejercicio 9.4 Libro de práctica · cap. 9, ej. 5Integrador
Degradación de un medicamento: elegir el modelo y predecir
La etiqueta de una solución declara 1.5 % de principio activo, pero al inicio del experimento (día 0) se midió 1.25 %. Se siguió la concentración durante 25 días:
Días
0
5
10
15
20
25
C (%)
1.25
1.04
0.87
0.72
0.60
0.50
El proceso es de orden 0 si \(C\) es lineal en \(t\); de orden 1 si lo es \(\ln C\) (\(C_t=C_0e^{-kt}\)); de orden 2 si lo es \(1/C\). (a) Determinar el orden. (b) Estimar la constante de velocidad \(k\). (c) ¿Cuánto tiempo pasó desde la elaboración hasta el día 0? (d) Vida media y tiempo para que la concentración baje un 10 % respecto de la etiqueta. (e) Concentración a los 10 días.
Resolución paso a paso
(a) Se ajustan las tres rectas por mínimos cuadrados:
Modelo
Recta
R²
Residuos
Orden 0: C
1.2029 − 0.02983 t
98.30 %
curvatura (+ − − − − +)
Orden 1: ln C
0.22374 − 0.03669 t
99.99 %
sin patrón
Orden 2: 1/C
0.7310 + 0.04774 t
98.25 %
curvatura (+ − − − − +)
Los tres \(R^2\) son altos, pero solo el de orden 1 tiene residuos sin patrón curvo. La reacción es de orden 1.
(b) La pendiente de \(\ln C\) en función de \(t\) es \(-k\): \(k=0.03669\) día⁻¹. La ordenada da \(\hat C_0=e^{0.22374}=1.251\) %.
(c) Se busca \(t\) tal que \(C=1.5\): $$\ln1.5=0.22374-0.03669\,t\Rightarrow t=\frac{0.22374-0.40547}{0.03669}=-4.95$$ El medicamento se elaboró unos 5 días antes del inicio.
(d) Vida media (de 1.5 % a 0.75 %): \(t_{1/2}=\ln2/k=18.9\approx19\) días. Bajar un 10 % respecto de la etiqueta es llegar a 1.35 %: $$t=\frac{\ln(1.5/1.35)}{k}=\frac{0.1054}{0.03669}=2.9\ \text{días después de la elaboración}$$ En la escala del experimento es \(t=-2.1\): unos 2 días antes del día 0, que es la respuesta del libro.
Conclusión. La degradación es de primer orden, con \(k=0.0367\) día⁻¹ y vida media de unos 19 días. El producto ya había perdido más del 10 % de lo declarado cuando empezó el experimento: eso pasó a los 3 días de elaborado.
Ejercicio 9.5 Libro de práctica · cap. 9, ej. 11Integrador
Plomo en jugos por dos métodos: correlación y prueba pareada
Se midió el plomo (µg/mL) en 10 jugos con un método potenciométrico nuevo (APR) y por absorción atómica (EAA). (a) Diagrama de dispersión. (b) Estimar el parámetro que mide la intensidad de la relación. (c) ¿Miden los dos métodos, en promedio, la misma concentración? (\(\alpha=0.05\)).
Jugo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
EAA
35
75
75
80
125
205
205
215
240
350
APR
35
70
80
80
120
200
220
200
250
330
Resolución paso a paso
(a) Ambas son variables aleatorias medidas sobre el mismo jugo, sin variable controlada: es un problema de correlación. Los puntos se alinean sobre una recta creciente.
(b) \(\bar x_{EAA}=160.5\), \(s_{EAA}=98.47\); \(\bar x_{APR}=158.5\), \(s_{APR}=95.40\); \(S_{XY}=9342.5\). $$r=\frac{S_{XY}}{S_XS_Y}=\frac{9342.5}{98.47\cdot95.40}=0.9945$$ Asociación lineal directa y muy intensa.
(c) Una correlación alta no garantiza que los métodos coincidan: podrían diferir en un valor constante. Para comparar promedios se usa la prueba pareada (cada jugo es un bloque). Con \(d=\text{EAA}-\text{APR}\): 0, 5, −5, 0, 5, 5, −15, 15, −10, 20, se tiene \(\bar d=2.0\) y \(s_D=10.59\).
\(H_0:\pmd=0\) vs \(H_1:\pmd\ne0\): $$t_{obs}=\frac{2.0}{10.59/\sqrt{10}}=0.60\lt t_{9;0.975}=2.262\qquad p=0.565$$
Conclusión. Los métodos están fuertemente correlacionados (r = 0.9945) y no hay evidencia de que difieran en promedio (p = 0.57): el nuevo método APR concuerda con la absorción atómica.
Σ
Cuadro resumen
Parámetro, estimador, variable pivote y distribución. Las filas se marcan al elegir un parámetro.