Estatística · FCByF · UNR · Unidades 4 a 9

Inferência estatística

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Distribuições amostrais

As estatísticas são variáveis aleatórias: têm esperança, variância e distribuição.

Conceitos
Conceito

Amostra aleatória, estatística e distribuição amostral

Amostra aleatória: conjunto de \(n\) variáveis aleatórias independentes \(X_1,\dots,X_n\), cada uma com a mesma distribuição \(f(x)\) que a variável em estudo.

Estatística: variável aleatória definida como função da amostra aleatória (média, variância, frequência relativa…). Seu valor muda de amostra para amostra.

Distribuição amostral: a distribuição de probabilidade de uma estatística. Conhecer sua esperança, variância e forma é o que permite estimar e testar hipóteses.

Parâmetro = número fixo e desconhecido da população (\(\pmu,\ \psig^2,\ \pp\)). Estatística = número calculado na amostra (\(\bar x,\ s^2,\ h\)).

Estatísticas e suas distribuições
Estatística

Média amostral \(\bar X\)

Varia em torno da média populacional, e sua dispersão diminui à medida que \(n\) cresce.

$$E(\bar X)=\pmu_X \qquad V(\bar X)=\frac{\psig^2_X}{n}\qquad \sigma_{\bar X}=\frac{\psig_X}{\sqrt n}$$

Se a variável original é normal, \(X\sim N(\pmu_X;\psig_X)\), a média também é normal para qualquer \(n\). Subtraindo sua esperança e dividindo pelo seu desvio padrão obtém-se \(Z\), a média padronizada, que segue uma normal padrão (média 0, desvio 1):

$$\bar X\sim N\!\left(\pmu_X;\ \frac{\psig_X}{\sqrt n}\right)\quad\Longrightarrow\quad Z=\frac{\bar X-\pmu_X}{\psig_X/\sqrt n}\sim N(0;1)$$
Demonstração de E e V
  1. $$E(\bar X)=E\Big(\tfrac1n\sum X_i\Big)=\tfrac1n\big[E(X_1)+\dots+E(X_n)\big]=\tfrac1n\,n\pmu_X=\pmu_X$$Linearidade da esperança; cada \(X_i\) tem a distribuição de \(X\).
  2. $$V(\bar X)=\tfrac1{n^2}V\Big(\sum X_i\Big)=\tfrac1{n^2}\big[V(X_1)+\dots+V(X_n)\big]=\tfrac{1}{n^2}\,n\psig^2_X=\frac{\psig^2_X}{n}$$A constante sai ao quadrado; as \(X_i\) são independentes, então a variância da soma é a soma das variâncias.
Conceito · teorema

Teorema Central do Limite

Se \(X\) tem qualquer distribuição com média \(\pmu_X\) e desvio padrão \(\psig_X\), para \(n\) suficientemente grande:

$$\bar X\ \xrightarrow[n\to+\infty]{}\ N\!\left(\pmu_X;\ \frac{\psig_X}{\sqrt n}\right)$$

Regra prática: a aproximação é válida para \(n\gt 30\). Quanto mais assimétrica for \(X\), maior o \(n\) necessário. Se \(X\) já é normal, \(\bar X\) é normal para qualquer \(n\).

Estatística

Frequência relativa \(h(A)\)

Seja \(A\) o evento de interesse, \(\pp=P(A)\) sua probabilidade e \(\pq=1-\pp\). Define-se \(X=1\) se ocorre \(A\) e \(X=0\) caso contrário (variável de Bernoulli). Se \(f(A)\) é a frequência absoluta (número de vezes que \(A\) ocorre nas \(n\) repetições), então \(h(A)=\frac{f(A)}{n}=\frac{\sum X_i}{n}=\bar X\): a frequência relativa é uma média aritmética.

$$E(h)=\pp\qquad V(h)=\frac{\pp\pq}{n}\qquad h\ \xrightarrow[n\to+\infty]{}\ N\!\left(\pp;\ \sqrt{\frac{\pp\pq}{n}}\right),\quad \pq=1-\pp$$
Demonstração
  1. $$E(X)=0\cdot \pq+1\cdot \pp=\pp$$Definição de esperança de uma variável discreta.
  2. $$V(X)=(0-\pp)^2\pq+(1-\pp)^2\pp=\pp^2\pq+\pq^2\pp=\pp\pq(\pp+\pq)=\pp\pq$$Definição de variância e \(\pp+\pq=1\).
  3. $$E(h)=E(\bar X)=\pp,\qquad V(h)=V(\bar X)=\frac{V(X)}{n}=\frac{\pp\pq}{n}$$Resultados da média aplicados a \(X\) de Bernoulli; a normalidade vem do TCL (na prática \(n\gt30\)).
Estatística

Variância amostral \(S^2\)

A variância amostral é \(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\). Define-se \(U\), a variância amostral padronizada: \(S^2\) multiplicada por seus graus de liberdade \(n-1\) e dividida pela variância populacional \(\psig_X^2\). Se \(X\sim N(\pmu_X;\psig_X)\), \(U\) segue uma distribuição qui-quadrado com \(n-1\) graus de liberdade (\(\chi^2_{n-1}\)):

$$U=\frac{(n-1)S^2}{\psig_X^2}\sim\chi^2_{n-1}\qquad E(S^2)=\psig_X^2\qquad V(S^2)=\frac{2\psig_X^4}{n-1}$$
Demonstração de E e V
  1. $$S^2=\frac{U\,\psig^2_X}{n-1},\qquad E(U)=n-1,\quad V(U)=2(n-1)$$Isolando \(S^2\); a esperança e a variância de uma qui-quadrado são \(gl\) e \(2\,gl\).
  2. $$E(S^2)=\frac{\psig^2_X}{n-1}E(U)=\frac{\psig^2_X}{n-1}(n-1)=\psig^2_X$$A constante sai da esperança.
  3. $$V(S^2)=\Big(\frac{\psig^2_X}{n-1}\Big)^2V(U)=\frac{\psig^4_X}{(n-1)^2}\,2(n-1)=\frac{2\psig^4_X}{n-1}$$A constante sai da variância ao quadrado.
Estatística

Estatística T de Student

Quando, na média padronizada \(Z\), o desvio padrão populacional \(\psig_X\) (desconhecido) é substituído pelo amostral \(S\), a variável resultante \(T\) deixa de ser normal: segue uma t de Student com \(n-1\) graus de liberdade (\(t_{n-1}\)):

$$T=\frac{\bar X-\pmu_X}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}\qquad(\text{requiere }X\text{ normal})$$
Demonstração
  1. $$Z=\frac{\bar X-\pmu_X}{\psig_X/\sqrt n}\sim N(0;1),\qquad U=\frac{(n-1)S^2}{\psig_X^2}\sim\chi^2_{n-1}$$Resultados anteriores; para \(X\) normal, \(Z\) e \(U\) são independentes.
  2. $$T=\frac{Z}{\sqrt{U/(n-1)}}\sim t_{n-1}$$Definição da variável T de Student.
  3. $$T=\frac{\dfrac{\bar X-\pmu_X}{\psig_X/\sqrt n}}{\sqrt{\dfrac{S^2}{\psig^2_X}}}=\frac{\dfrac{\bar X-\pmu_X}{\psig_X/\sqrt n}}{S/\psig_X}=\frac{\bar X-\pmu_X}{S/\sqrt n}$$Substituição e simplificação: \(\psig_X\) se cancela.
Estatística

Razão de variâncias: F de Snedecor

Têm-se duas populações normais independentes, \(X_1\sim N(\pmu_1;\psig_1)\) e \(X_2\sim N(\pmu_2;\psig_2)\), e de cada uma uma amostra de tamanho \(n_1\) e \(n_2\), com variâncias amostrais \(S_1^2\) e \(S_2^2\). A razão de suas variâncias padronizadas segue uma F de Snedecor com \(n_1-1\) e \(n_2-1\) graus de liberdade:

$$\frac{S_1^2/\psig_1^2}{S_2^2/\psig_2^2}\sim F_{n_1-1;\,n_2-1}\qquad\text{y si }\psig_1^2=\psig_2^2:\quad F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n_1-1;\,n_2-1}$$
Demonstração
  1. $$U_1=\frac{(n_1-1)S_1^2}{\psig_1^2}\sim\chi^2_{n_1-1},\qquad U_2=\frac{(n_2-1)S_2^2}{\psig_2^2}\sim\chi^2_{n_2-1}$$Distribuição da variância amostral em cada população.
  2. $$F=\frac{U_1/(n_1-1)}{U_2/(n_2-1)}=\frac{S_1^2/\psig_1^2}{S_2^2/\psig_2^2}$$Definição de F: razão de qui-quadrados independentes divididas por seus graus de liberdade.
  3. Se \(\psig_1^2=\psig_2^2\) as variâncias populacionais se cancelam e resta \(S_1^2/S_2^2\).
Controle estatístico de qualidade
Conceito

Causas de variação e controle estatístico

  • Causas assinaláveis: identificáveis e elimináveis (operador sem treinamento, troca de lote de reagente, falta de calibração). Produzem variações importantes.
  • Causas aleatórias: muitas causas pequenas, inevitáveis e independentes (pequenas variações ambientais ou elétricas).
  • Sob controle estatístico: as causas assinaláveis foram eliminadas e restam apenas as aleatórias.
  • Amostra controle: material de referência com nível de analito certificado (\(\pmu\) conhecido). Com o processo sob controle, \(X\sim N(\pmu;\psig)\): \(\pmu\) e \(\psig\) são as especificações de qualidade.
Fórmula

Carta de Shewhart para a média

\(X\) é a determinação na amostra controle e \(\pmu\), \(\psig\) são as especificações de qualidade. Com uma determinação por controle, plota-se \(X\); com \(n\) determinações, plota-se sua média \(\bar X\). Os limites ficam a \(k\) desvios da linha central \(\pmu\) (\(LI\): limite inferior; \(LS\): superior):

$$\text{Individual: }\ \pmu\pm k\,\psig\qquad\qquad \text{Media de }n:\ \pmu\pm k\,\frac{\psig}{\sqrt n}$$
  • \(k=1\): contém 68 % (serve para detectar padrões).
  • \(k=2\) (exato 1.96): limites de alerta, 95 %.
  • \(k=3\) (exato 2.576 para 99 %): limites de ação, 99.73 %.
Demonstração do limite inferior de alerta
  1. $$P(X\lt LI_{Alerta})=0.025$$Buscam-se os percentis 2.5 e 97.5 de \(X\).
  2. $$P\Big(Z\lt \frac{LI_{Alerta}-\pmu}{\psig}\Big)=0.025\ \Longrightarrow\ \frac{LI_{Alerta}-\pmu}{\psig}=z_{0.025}=-1.96$$Padronização e percentil da normal padrão.
  3. $$LI_{Alerta}=\pmu-1.96\,\psig$$Isolando. Com médias de \(n\) substitui-se \(\psig\) por \(\psig/\sqrt n\). Os de ação saem igual com \(z_{0.005}=-2.576\).
Fórmula

Carta de controle da precisão (variância)

Plota-se a variância amostral \(S^2\) das \(n\) determinações de cada controle; \(\psig^2\) é a variância especificada do processo e \(\chi^2_{n-1;\,q}\) o percentil \(q\) da qui-quadrado com \(n-1\) graus de liberdade. Há apenas limites superiores (\(L_{Alerta}\) e \(L_{Acción}\)):

$$L_{Alerta}=\frac{\psig^2\,\chi^2_{n-1;\,0.95}}{n-1}\qquad L_{Acción}=\frac{\psig^2\,\chi^2_{n-1;\,0.99}}{n-1}$$
Demonstração
  1. $$P(S^2\lt L_{Alerta})=0.95\Longrightarrow P\Big(\frac{(n-1)S^2}{\psig^2}\lt\frac{(n-1)L_{Alerta}}{\psig^2}\Big)=0.95$$Mesma transformação nos dois lados.
  2. $$\frac{(n-1)L_{Alerta}}{\psig^2}=\chi^2_{n-1;\,0.95}\Longrightarrow L_{Alerta}=\frac{\psig^2\chi^2_{n-1;0.95}}{n-1}$$A razão é uma \(\chi^2_{n-1}\); isolando.
Conceito

Regras para detectar perda de controle

  • Um ponto fora dos limites de ação (probabilidade 0.0027 se o processo continua sob controle).
  • Dois de três pontos consecutivos entre os limites de alerta e de ação.
  • Quatro de cinco pontos consecutivos fora dos limites de \(k=1\).
  • Padrões não aleatórios: cíclico (rodízio de analistas ou equipamentos), mudança na média (muitos pontos do mesmo lado, p. ex. novo lote de reagente), tendência crescente ou decrescente (deterioração de um reagente), estratificado (quase tudo dentro de \(k=1\): o \(\psig\) real é menor que o usado).
  • Na carta de variância: ponto fora do limite de ação ou tendência crescente.
Laboratório interativo
Gráfico interativo

Calculadora de distribuições: Z, t, χ² e F

Substitui as tabelas. Escolha a distribuição e seus graus de liberdade, e peça um percentil ou uma probabilidade: a área sombreada é a probabilidade calculada. Começa com \(\chi^2_{13;\,0.975}\), o percentil usado no exercício 5.2.

Gráfico interativo · simulação

População, 1000 amostras e a distribuição da estatística

Extraem-se 1000 amostras de tamanho \(n\) da população escolhida e em cada uma calcula-se \(\bar X\) ou \(S^2\). Aumente \(n\): o histograma fica mais estreito (\(\psig/\sqrt n\)) e, pelo TCL, a média se torna normal mesmo que a população seja assimétrica ou bimodal. Com \(S^2\), a curva \(\chi^2\) só se ajusta se a população for normal.

Histograma das 1000 amostrasDistribuição teóricaValor do parâmetro
Exercícios resolvidos
Exercício 4.1 Apostila teórica · U4, exemplo de colesterol HDLas perguntas de probabilidade foram acrescentadas

Por que convém calcular a média? Colesterol HDL

A concentração de colesterol HDL em uma população é \(X\sim N(50;\,3)\) mg/dL. Calcular a probabilidade de obter um valor entre 49 e 51 mg/dL (a) com uma única determinação; (b) com a média de \(n=10\); (c) com a média de \(n=40\).

Resolução passo a passo
  1. Uma determinação: $$P(49\lt X\lt 51)=P\Big(\tfrac{49-50}{3}\lt Z\lt\tfrac{51-50}{3}\Big)=P(-0.33\lt Z\lt 0.33)=0.261$$
  2. Média de 10: \(\sigma_{\bar X}=3/\sqrt{10}=0.949\). $$P(49\lt \bar X\lt 51)=P(-1.05\lt Z\lt 1.05)=0.708$$
  3. Média de 40: \(\sigma_{\bar X}=3/\sqrt{40}=0.474\). $$P(-2.11\lt Z\lt 2.11)=0.965$$
Conclusão. A probabilidade de ficar a menos de 1 mg/dL da verdadeira média passa de 26 % para 71 % e para 96.5 %: o desvio padrão da média é dividido por \(\sqrt n\).
Exercício 4.2 Livro de exercícios · cap. 4, ex. 1o item (c) foi acrescentado

Germinação de sementes de girassol

61 % de uma população de sementes germina em uma semana. Toma-se uma amostra de 200 sementes e germinam 130. (a) 0.61 é parâmetro ou estatística? (b) Calcular \(h\) e sua distribuição. (c) Qual a probabilidade de observar \(h\ge 0.65\)?

Resolução passo a passo
  1. \(\pp=0.61\) é um parâmetro (descreve a população). \(h=130/200=0.65\) é uma estatística: outra amostra de 200 daria outro valor.
  2. Com \(n=200\gt30\): $$h\sim N\Big(0.61;\ \sqrt{\tfrac{0.61\cdot0.39}{200}}\Big)=N(0.61;\ 0.0345)$$
  3. $$P(h\ge0.65)=P\Big(Z\ge\tfrac{0.65-0.61}{0.0345}\Big)=P(Z\ge1.16)=0.123$$
Conclusão. Em 12 % das amostras de 200 sementes se observaria uma germinação de 65 % ou mais; o resultado é compatível com \(\pp=0.61\).
Exercício 4.3 Apostila teórica · U4, exemplos 2 e 3 (glicose)os valores do item (b) são ilustrativos

Cartas de controle para glicose com três alíquotas diárias

Amostra controle de glicose com \(\pmu=80\) e \(\psig=1.5\) mg/100mL; a cada dia processam-se \(n=3\) alíquotas. (a) Construir as cartas da média e da variância. (b) Valores ilustrativos: dois dias seguidos com médias 81.9 e 82.1, e um dia com \(s^2=11.2\). O que se conclui?

Resolução passo a passo
  1. \(\psig/\sqrt3=0.866\). Limites \(80\pm k\cdot0.866\):
    LimitekInferiorSuperior
    68 %179.1380.87
    Alerta278.2781.73
    Ação377.4082.60
  2. Carta de variância, \(gl=2\), \(\chi^2_{2;0.95}=5.99\), \(\chi^2_{2;0.99}=9.21\): $$L_{Alerta}=\frac{1.5^2\cdot5.99}{2}=6.74\qquad L_{Acción}=\frac{1.5^2\cdot9.21}{2}=10.36\ (\text{mg/100mL})^2$$
  3. 81.9 e 82.1 estão entre alerta (81.73) e ação (82.60): cumpre-se “dois de três pontos consecutivos entre alerta e ação”. Além disso, \(s^2=11.2\gt10.36\).
Conclusão. As duas cartas indicam o aparecimento de uma causa assinalável: os resultados dos pacientes não são liberados até revisar o processo.
Exercícios integradores
Exercício 4.4 Livro de exercícios · cap. 4, ex. 9Integrador

Comprimidos fora de especificação: normal ou binomial?

8 % de uma população de comprimidos não cumpre as especificações da Farmacopeia. (a) Calcular a probabilidade de que, em uma amostra de 150 comprimidos, a porcentagem fora de especificação seja menor ou igual a 10 %. (b) Calcular a mesma probabilidade para uma amostra de 10. (c) Usou-se o mesmo procedimento em (a) e em (b)? Justificar.

Resolução passo a passo
  1. Seja \(A\) = “o comprimido não cumpre”, com \(\pp=0.08\) e \(\pq=0.92\). A estatística é a frequência relativa \(h=f(A)/n\), com \(E(h)=\pp\) e \(V(h)=\pp\pq/n\).
  2. (a) n = 150. Como \(n\gt30\), pelo TCL \(h\) é aproximadamente normal: $$h\sim N\Big(0.08;\ \sqrt{\tfrac{0.08\cdot0.92}{150}}\Big)=N(0.08;\ 0.0222)$$ $$P(h\le0.10)=P\Big(Z\le\frac{0.10-0.08}{0.0222}\Big)=P(Z\le0.90)=0.8159$$
  3. (b) n = 10. Com \(n\le30\) o TCL não vale. Usa-se a distribuição exata da frequência absoluta: \(f(A)\sim\text{Binomial}(10;\ 0.08)\). Como \(h\le0.10\iff f(A)\le1\): $$P(f(A)\le1)=0.92^{10}+10\cdot0.08\cdot0.92^{9}=0.4344+0.3777=0.8121$$
  4. (c) Não: em (a) aproximou-se a distribuição de \(h\) por uma normal; em (b) usou-se a binomial exata. Se em (b) se tivesse usado a normal, com \(\sigma_h=\sqrt{0.08\cdot0.92/10}=0.0858\) se obteria \(P(Z\le0.23)=0.592\), muito longe do valor correto 0.8121.
Conclusão. A probabilidade é 0.816 com n = 150 e 0.812 com n = 10. A aproximação normal de \(h\) requer amostras grandes; com amostras pequenas é preciso trabalhar com a binomial.
Exercício 4.5 Livro de exercícios · cap. 4, ex. 11Integrador

Colesterol sérico: cartas da média e da variância durante 20 dias

Um método enzimático para colesterol sérico foi colocado sob controle. Usa-se uma mistura controle com \(\pmu=210\) mg/dL e \(\psig=3\) mg/dL, com três determinações diárias. (a) Construir os gráficos de controle. (b) Com as médias e variâncias dos 20 dias seguintes, pode-se concluir que o processo continuou sob controle?

Dia12345678910
x̄209.7211.3206.7211.0210.0211.7209.0207.7210.0210.0
s²6.339.332.3312.0316.006.3312.004.334.0012.00
Dia11121314151617181920
x̄211.3211.3210.0207.7209.7208.7212.0209.7211.3209.3
s²2.3312.337.002.335.336.333.002.336.3341.33
Resolução passo a passo
  1. Carta da média (média de \(n=3\)): \(\psig/\sqrt n=3/\sqrt3=1.732\) e limites \(210\pm k\cdot1.732\).
    LimitekInferiorSuperior
    68 %1208.27211.73
    Alerta2206.54213.46
    Ação3204.80215.20
  2. Carta da variância, com \(gl=n-1=2\): $$L_{Alerta}=\frac{3^2\cdot\chi^2_{2;0.95}}{2}=\frac{9\cdot5.99}{2}=26.96\qquad L_{Acción}=\frac{9\cdot9.21}{2}=41.45\ (\text{mg/dL})^2$$
  3. Médias. Nenhuma sai dos limites de alerta. Apenas os dias 3 (206.7), 8 (207.7), 14 (207.7) e 17 (212.0) caem fora de \(k=1\), de forma isolada: nunca 4 de 5 consecutivos. Há 9 médias abaixo de 210, 7 acima e 4 iguais, sem sequências nem tendências.
  4. Variâncias. As 19 primeiras estão abaixo de 26.96. No dia 20, \(s^2=41.33\) fica entre o limite de alerta e o de ação, muito perto deste último.
Conclusão. Nos 20 dias o processo continuou sob controle estatístico: nenhum ponto ultrapassou um limite de ação nem apareceram padrões. Mas a precisão do dia 20 está no limite: convém vigiar os dias seguintes, porque outro ponto entre alerta e ação indicaria perda de controle.
5

Estimação de parâmetros

Estimação pontual e por intervalo de confiança; tamanho da amostra.

Conceitos
Conceito

Estimador e estimativa

Estimador de \(\theta\): variável aleatória função da amostra, \(\hat\theta=g(X_1,\dots,X_n)\). Estimativa: o valor observado do estimador uma vez obtida a amostra.

Exemplo da apostila: com 40 indivíduos obteve-se \(\bar x=50.3\) mg/dL; 50.3 é uma estimativa da média de colesterol HDL.

Conceito

Propriedades de um bom estimador

  • Não viesado: \(E(\hat\theta)=\theta\).
  • Consistente (entre os não viesados): \(V(\hat\theta)\to0\) quando \(n\to+\infty\).
ParâmetroEstimadorEsperançaVariância
\(\pmu_X\)\(\bar X\)\(\pmu_X\)\(\psig^2_X/n\)
\(\psig^2_X\)\(S^2_X\)\(\psig^2_X\)\(2\psig^4_X/(n-1)\)
\(\pp=P(A)\)\(h(A)\)\(\pp\)\(\pp\pq/n\)
Por que se divide por \(n-1\) e não por \(n\)
  1. $$S'^2=\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2=\frac{n-1}{n}S^2$$Relação entre as duas versões.
  2. $$E(S'^2)=\frac{n-1}{n}E(S^2)=\frac{n-1}{n}\psig^2_X\ \lt\ \psig^2_X$$\(S'^2\) é viesado: subestima a variância populacional. \(S^2\) é não viesado.
Conceito

Intervalo de confiança: passos e interpretação

  1. Definir o parâmetro \(\theta\).
  2. Escolher um bom estimador \(\hat\theta\).
  3. Fixar a confiança \(1-\alpha\) (usual: 0.90, 0.95, 0.99).
  4. Definir uma variável \(Y\) que contenha \(\theta\) e \(\hat\theta\), de distribuição conhecida (com outros parâmetros conhecidos).
  5. Montar \(P(y_{\alpha/2}\le Y\le y_{1-\alpha/2})=1-\alpha\) e isolar \(\theta\).
  6. Tomar a amostra e calcular \((a;\,b)\).
  7. Concluir com confiança \(1-\alpha\) que \((a;\,b)\) cobre \(\theta\).

Se a amostragem fosse repetida muitas vezes, \((1-\alpha)\cdot100\)% dos intervalos cobririam o verdadeiro \(\theta\). Não é “a probabilidade de que \(\theta\) esteja neste intervalo”: \(\theta\) é fixo; o aleatório é o intervalo.

A semiamplitude \(d\) (margem de erro) mede a precisão: quanto maior a confiança, mais largo o intervalo; quanto maior \(n\), mais estreito.

Fórmulas
Fórmula · IC

IC para \(\pmu\), população normal com \(\psig\) conhecida

$$\bar x\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\psig_X}{\sqrt n}$$

Pelo TCL vale para qualquer \(X\) com \(\psig\) conhecida se \(n\) for grande.

Demonstração
  1. $$P\Big(z_{\alpha/2}\le\frac{\bar X-\pmu_X}{\psig_X/\sqrt n}\le z_{1-\alpha/2}\Big)=1-\alpha$$\(Z\sim N(0;1)\) contém o parâmetro e o estimador.
  2. $$P\Big(z_{\alpha/2}\tfrac{\psig_X}{\sqrt n}\le\bar X-\pmu_X\le z_{1-\alpha/2}\tfrac{\psig_X}{\sqrt n}\Big)=1-\alpha$$Multiplica-se por \(\psig_X/\sqrt n\gt0\).
  3. $$P\Big(\bar X-z_{\alpha/2}\tfrac{\psig_X}{\sqrt n}\ge\pmu_X\ge\bar X-z_{1-\alpha/2}\tfrac{\psig_X}{\sqrt n}\Big)=1-\alpha$$Subtrai-se \(\bar X\) e multiplica-se por \(-1\) (as desigualdades se invertem).
  4. $$P\Big(\bar X-z_{1-\alpha/2}\tfrac{\psig_X}{\sqrt n}\le\pmu_X\le\bar X+z_{1-\alpha/2}\tfrac{\psig_X}{\sqrt n}\Big)=1-\alpha$$Simetria da normal: \(z_{\alpha/2}=-z_{1-\alpha/2}\).
Fórmula · tamanho da amostra

Tamanho da amostra para estimar \(\pmu\)

$$d=z_{1-\alpha/2}\frac{\psig_X}{\sqrt n}\quad\Longrightarrow\quad n=\Big(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\psig_X}{d}\Big)^2$$

Maior confiança, maior precisão (menor \(d\)) ou população mais heterogênea (maior \(\psig\)) exigem maior \(n\). Arredonda-se para cima. Se \(\psig\) é desconhecido, usa-se um valor de estudos anteriores ou de uma amostra piloto.

Fórmula · IC

IC para \(\pmu\), população normal com \(\psig\) desconhecida

$$\bar x\pm t_{n-1;\,1-\alpha/2}\,\frac{s_X}{\sqrt n}$$
Demonstração
  1. $$P\Big(t_{n-1;\alpha/2}\le\frac{\bar X-\pmu_X}{S_X/\sqrt n}\le t_{n-1;1-\alpha/2}\Big)=1-\alpha$$\(T\sim t_{n-1}\) substitui \(Z\) porque \(\psig_X\) é estimado com \(S_X\).
  2. Isolando como com \(Z\) e usando a simetria \(t_{n-1;\alpha/2}=-t_{n-1;1-\alpha/2}\) obtém-se \(\bar X\pm t_{n-1;1-\alpha/2}S_X/\sqrt n\).
Fórmula · IC

IC para \(\psig^2\) de uma população normal

$$\left(\frac{(n-1)s^2_X}{\chi^2_{n-1;\,1-\alpha/2}}\ ;\ \frac{(n-1)s^2_X}{\chi^2_{n-1;\,\alpha/2}}\right)$$

Não é simétrico em torno de \(s^2\): a qui-quadrado é assimétrica. O percentil maior vai no denominador do limite inferior.

Demonstração
  1. $$P\Big(\chi^2_{n-1;\alpha/2}\le\frac{(n-1)S^2_X}{\psig^2_X}\le\chi^2_{n-1;1-\alpha/2}\Big)=1-\alpha$$\(U\sim\chi^2_{n-1}\).
  2. $$P\Big(\frac{\chi^2_{n-1;\alpha/2}}{(n-1)S^2_X}\le\frac1{\psig^2_X}\le\frac{\chi^2_{n-1;1-\alpha/2}}{(n-1)S^2_X}\Big)=1-\alpha$$Divide-se por \((n-1)S^2_X\gt0\).
  3. $$P\Big(\frac{(n-1)S^2_X}{\chi^2_{n-1;1-\alpha/2}}\le\psig^2_X\le\frac{(n-1)S^2_X}{\chi^2_{n-1;\alpha/2}}\Big)=1-\alpha$$Tomam-se os inversos (as desigualdades se invertem) e reordena-se.
Fórmula · IC e tamanho

IC para uma proporção \(\pp\) (amostras grandes)

$$h\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}\qquad\qquad n=\frac{z^2_{1-\alpha/2}\,\pp'\pq'}{d^2}$$

\(\pp'\) vem de estudos anteriores ou de uma amostra piloto. Opção conservadora: \(\pp'=0.5\), que maximiza \(\pp'\pq'\) e dá o maior \(n\).

Demonstração
  1. $$Z=\frac{h-\pp}{\sqrt{h(1-h)/n}}\sim N(0;1)$$TCL; a variância \(\pp\pq/n\) depende do parâmetro, então substituem-se \(\pp\) e \(\pq\) por \(h\) e \(1-h\).
  2. $$P\Big(h-z_{1-\alpha/2}\sqrt{\tfrac{h(1-h)}{n}}\le\pp\le h+z_{1-\alpha/2}\sqrt{\tfrac{h(1-h)}{n}}\Big)=1-\alpha$$Mesmo isolamento que para a média, com \(z_{\alpha/2}=-z_{1-\alpha/2}\).
Laboratório interativo
Gráfico interativo · simulação

O que significa “90 % de confiança”?

Cinquenta amostras de uma solução de sódio com \(\pmu=2\) mg/L e \(\psig=0.2\) mg/L, como no exercício 4 do livro. Cada barra é um intervalo; em vermelho os que não cobrem \(\pmu\). Gere várias vezes: a porcentagem acumulada se aproxima da confiança escolhida. Mude a confiança ou \(n\) para ver como a amplitude muda.

Cobre μNão cobre μμ = 2 mg/L
Exercícios resolvidos
Exercício 5.1 Livro de exercícios · cap. 5, ex. 3

Rendimento de uma nova variedade de milho

Rendimentos (qq/ha) em 12 parcelas do sul de Santa Fe; supõe-se distribuição normal. Estimar o rendimento médio de forma pontual e com um IC de 95 %.

888574699370876589799384
Resolução passo a passo
  1. Pontual: \(\hat{\pmu}=\bar x=81.33\) qq/ha; \(s=9.70\).
  2. \(\psig\) desconhecida e \(n=12\): usa-se \(t_{11;\,0.975}=2.201\). $$81.33\pm2.201\cdot\frac{9.70}{\sqrt{12}}=81.33\pm6.16$$
  3. IC: \((75.17;\ 87.50)\) qq/ha.
Conclusão. Com 95 % de confiança, o intervalo (75.2; 87.5) qq/ha cobre o rendimento médio da variedade na região.
Exercício 5.2 Livro de exercícios · cap. 5, ex. 6

Capacidade antioxidante (FRAP) em framboesas silvestres

Valores FRAP (µg Fe/g de peso seco) em 14 framboesas; variável normal. (a) Estimar pontualmente média e variância. (b) IC 99 % para a média. (c) IC 95 % para a variância. (d) Que \(n\) reduz à metade a amplitude de (b)?

16.420.017.111.717.911.212.5
15.216.019.313.213.714.418.6
Resolução passo a passo
  1. \(\bar x=15.51\), \(s^2=8.11\), \(s=2.848\).
  2. \(t_{13;0.995}=3.012\): $$15.51\pm3.012\cdot\frac{2.848}{\sqrt{14}}=15.51\pm2.29$$ IC: \((13.22;\ 17.81)\) µg Fe/g.
  3. \(\chi^2_{13;0.975}=24.74\), \(\chi^2_{13;0.025}=5.01\): $$\Big(\frac{13\cdot8.11}{24.74};\ \frac{13\cdot8.11}{5.01}\Big)=(4.26;\ 21.05)\ (\text{µg Fe/g})^2$$
  4. Nova margem \(d=2.29/2=1.146\); com \(\psig\approx s\): \(n=\big(\frac{2.576\cdot2.848}{1.146}\big)^2=40.9\Rightarrow n=41\).
Conclusão. Média entre 13.2 e 17.8 µg Fe/g (99 %), variância entre 4.3 e 21.1 (95 %). Para duplicar a precisão são necessárias 41 framboesas: reduzir \(d\) à metade quase triplica \(n\).
Exercício 5.3 Livro de exercícios · cap. 5, ex. 7

Hábitos alimentares inadequados

Deseja-se estimar a proporção de pessoas com hábitos inadequados em uma cidade. (a) Tamanho da amostra para 95 % de confiança e margem de 4 %, se em um piloto 12 de 40 os tinham. (b) Em 500 pessoas, 124 os têm: estimar.

Resolução passo a passo
  1. \(\pp'=12/40=0.30\): $$n=\frac{1.96^2\cdot0.30\cdot0.70}{0.04^2}=504.2\Rightarrow n=505$$
  2. \(h=124/500=0.248\) (estimador não viesado e consistente de \(\pp\)).
  3. $$0.248\pm1.96\sqrt{\frac{0.248\cdot0.752}{500}}=0.248\pm0.038\Rightarrow(0.210;\ 0.286)$$
Conclusão. Com 95 % de confiança, entre 21.0 % e 28.6 % da população tem hábitos inadequados.
Exercícios integradores
Exercício 5.4 Livro de exercícios · cap. 5, ex. 4Integrador

Vinte alíquotas de sódio: cobertura e amplitude dos intervalos

Para estimar a concentração de sódio de uma solução fazem-se 9 determinações em uma alíquota. O experimento é repetido com 20 alíquotas da mesma solução. O livro dá os 18 intervalos das demais alíquotas; faltam os das alíquotas 4 e 15 (mg/L):

Alíquota 41.981.882.111.621.392.151.701.991.95
Alíquota 152.161.831.891.752.031.981.721.871.95

(a) IC de 90 % para as alíquotas 4 e 15 com \(\psig=0.2\) mg/L. (b) Se o verdadeiro valor é 2 mg/L, que proporção dos 20 intervalos o cobre? (c) Repetir supondo \(\psig\) desconhecido. (d) Com IC de 95 %, como muda a amplitude e quantos intervalos se espera que cubram o verdadeiro valor? (e) O que acontece com a amplitude se aumenta o número de determinações por alíquota?

Resolução passo a passo
  1. (a) σ conhecido. \(z_{0.95}=1.645\) e \(\psig/\sqrt n=0.2/3=0.0667\): semiamplitude \(d=1.645\cdot0.0667=0.110\), igual para todas as alíquotas. $$\text{Alíquota 4: }\bar x=1.863\Rightarrow(1.753;\ 1.973)\qquad\text{Alíquota 15: }\bar x=1.909\Rightarrow(1.799;\ 2.019)$$
  2. (b) Com \(\pmu=2\), não o cobrem a alíquota 2 \((2.020;\ 2.240)\) nem a 4 \((1.753;\ 1.973)\): cobrem 18 de 20, ou seja, 90 %, igual à confiança. É o esperado: 90 % dos intervalos construídos assim cobrem \(\pmu\) a longo prazo.
  3. (c) σ desconhecido. Usa-se \(t_{8;0.95}=1.860\) e o desvio de cada alíquota: $$\text{Alíquota 4: }s=0.248\Rightarrow 1.863\pm1.860\cdot\tfrac{0.248}{3}=(1.709;\ 2.017)$$ $$\text{Alíquota 15: }s=0.139\Rightarrow 1.909\pm1.860\cdot\tfrac{0.139}{3}=(1.823;\ 1.995)$$ Agora as amplitudes mudam de uma alíquota para outra porque \(s\) varia. Não o cobrem a alíquota 2 \((2.013;\ 2.247)\) e a 15: de novo 18 de 20 (90 %), embora falhem intervalos diferentes.
  4. (d) 95 %. Os intervalos são mais largos: com σ conhecido a semiamplitude passa de 0.110 para \(1.96\cdot0.0667=0.131\); com σ desconhecido o valor crítico passa de 1.860 para \(t_{8;0.975}=2.306\). Espera-se que cubram 19 dos 20.
  5. (e) A semiamplitude é \(z\,\psig/\sqrt n\) (ou \(t\,s/\sqrt n\)): ao aumentar \(n\) com a mesma confiança, os intervalos se estreitam na proporção de \(1/\sqrt n\); com σ desconhecido também diminui o percentil t.
Conclusão. A confiança não é uma propriedade de um intervalo em particular, mas do procedimento: nos dois casos 18 de 20 intervalos cobrem o verdadeiro valor. Mais confiança implica intervalos mais largos; mais determinações, intervalos mais estreitos.
Exercício 5.5 Livro de exercícios · cap. 5, ex. 15Integrador

Princípio ativo de comprimidos: planejar a amostra e estimar

Deseja-se estimar o conteúdo médio do princípio ativo de um produto. A variável é normal com \(\psig=0.0068\) g. (a) Quantos comprimidos é preciso processar para estimar com margem de erro de 0.005 g e confiança de 99 %? (b) Estimar por intervalo com os resultados obtidos (g):

0.84030.83630.84470.84900.83520.8471
0.83120.84120.84560.83690.84780.8302
Resolução passo a passo
  1. (a) Com \(z_{0.995}=2.576\): $$n=\Big(\frac{z_{0.995}\,\psig}{d}\Big)^2=\Big(\frac{2.576\cdot0.0068}{0.005}\Big)^2=12.27\Rightarrow n=13$$ Sempre se arredonda para cima, para não ultrapassar a margem pedida.
  2. (b) Com os 12 valores: \(\bar x=0.84046\) g. Como \(\psig\) é conhecido usa-se \(z\): $$0.84046\pm2.576\cdot\frac{0.0068}{\sqrt{12}}=0.84046\pm0.00506\Rightarrow(0.8355;\ 0.8455)\ \text{g}$$
  3. Com 12 comprimidos (um a menos que o planejado) a margem resulta 0.00506 g, pouco maior que os 0.005 pedidos: por isso o cálculo de (a) dava 13.
Conclusão. Com 99 % de confiança, o conteúdo médio do princípio ativo está entre 0.8355 e 0.8455 g.
6

Testes de hipóteses com base em uma amostra

Média, proporção e variância; erros, poder e tamanho amostral.

Conceitos
Conceito

Hipótese nula e alternativa

\(H_0\): afirmação sobre o parâmetro que representa o status quo; supõe-se verdadeira e não se rejeita salvo evidência suficiente. \(H_1\): a pergunta de pesquisa, que contradiz \(H_0\).

Conclusões possíveis: rejeitar \(H_0\) (conclusão forte, \(\alpha\) limitado) ou não rejeitar \(H_0\) (conclusão fraca, \(\beta\) não limitado). Por isso não se diz “aceita-se \(H_0\)”.

Analogia do julgamento: \(H_0\) “inocente”, \(H_1\) “culpado”. Não condenar por falta de provas não demonstra a inocência.

  • Simples: um único valor (\(\pmu=50\)). Composta: vários (\(\pmu\gt50\)).
  • Unilateral à direita (\(H_1:\theta\gt\theta_0\)), à esquerda (\(\theta\lt\theta_0\)) ou bilateral (\(\theta\ne\theta_0\)): define a cauda da região de rejeição.
Conceito

Erros tipo I e II, poder

Decisão\(H_0\) verdadeira\(H_0\) falsa
Rejeitar \(H_0\)Erro tipo I (\(\alpha\))Correta (poder \(1-\beta\))
Não rejeitar \(H_0\)CorretaErro tipo II (\(\beta\))
$$\alpha=P(\text{rech. }H_0\mid H_0\text{ cierta})\qquad\beta=P(\text{no rech. }H_0\mid H_0\text{ falsa})\qquad \text{Potencia}=1-\beta$$
  • Com \(n\) fixo, diminuir \(\alpha\) aumenta \(\beta\). Só aumentar \(n\) diminui ambos.
  • Fixa-se \(\alpha\) (nível de significância: 0.01, 0.05, 0.10) e constrói-se a região de rejeição; \(\beta\) depende do verdadeiro valor do parâmetro.
  • O poder cresce quanto mais longe \(\pmu_1\) estiver de \(\pmu_0\), quanto menor for \(\psig\) e quanto maior for \(n\).
Conceito

Estatística de teste, região de rejeição e probabilidade associada

Estatística de teste: função da amostra na qual se apoia a decisão. Região crítica: valores da estatística que levam a rejeitar \(H_0\). Valor crítico \(c_\alpha\): separa as regiões; deduz-se de \(P(E_I)=\alpha\).

Probabilidade associada (valor p): probabilidade de observar um valor da estatística igual ou mais extremo que o obtido, supondo \(H_0\) verdadeira. Regra única para todos os testes: rejeitar \(H_0\) se \(p_{asoc}\le\alpha\).

Passos: (1) hipóteses, (2) \(\alpha\), (3) estatística de teste e sua distribuição sob \(H_0\), (4) região de rejeição, (5) amostra e valor observado, (6) decisão e conclusão em termos do problema.

Fórmulas
Fórmula · teste

Teste para \(\pmu\) com \(\psig\) conhecida

$$z_{obs}=\frac{\bar x_{obs}-\pmu_0}{\psig/\sqrt n}$$
\(H_1\)Rejeitar \(H_0\) se\(p_{asoc}\)
\(\pmu\gt\pmu_0\)\(\bar x\ge\pmu_0+z_{1-\alpha}\frac{\psig}{\sqrt n}\) ⇔ \(z_{obs}\ge z_{1-\alpha}\)\(P(Z\ge z_{obs})\)
\(\pmu\lt\pmu_0\)\(\bar x\le\pmu_0-z_{1-\alpha}\frac{\psig}{\sqrt n}\) ⇔ \(z_{obs}\le -z_{1-\alpha}\)\(P(Z\le z_{obs})\)
\(\pmu\ne\pmu_0\)\(|z_{obs}|\ge z_{1-\alpha/2}\)\(2P(Z\ge|z_{obs}|)\)
Demonstração do valor crítico (unilateral à direita)
  1. $$P(E_I)=\alpha\Rightarrow P(\text{rech. }H_0\mid H_0\text{ cierta})=\alpha$$Definição de erro tipo I.
  2. $$P(\bar X\ge c_\alpha\mid\pmu=\pmu_0)=\alpha$$Erro tipo I neste teste.
  3. $$P\Big(Z\ge\frac{c_\alpha-\pmu_0}{\psig/\sqrt n}\Big)=\alpha$$Sob \(H_0\), \(\bar X\sim N(\pmu_0;\psig/\sqrt n)\).
  4. $$\frac{c_\alpha-\pmu_0}{\psig/\sqrt n}=z_{1-\alpha}\Rightarrow c_\alpha=\pmu_0+z_{1-\alpha}\frac{\psig}{\sqrt n}$$Percentil da normal padrão e isolamento. No bilateral reparte-se \(\alpha/2\) em cada cauda.
Fórmula · poder

Erro tipo II, poder e tamanho da amostra

Para \(H_0:\pmu=\pmu_0\) vs \(H_1:\pmu\gt\pmu_0\), se a verdadeira média é \(\pmu_1\):

$$\beta=P\Big(Z\lt\frac{c_\alpha-\pmu_1}{\psig/\sqrt n}\Big)\qquad n=\frac{(z_{1-\alpha}+z_{1-\beta})^2\,\psig^2}{(\pmu_0-\pmu_1)^2}$$

A mesma fórmula de \(n\) vale para o teste unilateral à esquerda.

Demonstração da fórmula de \(n\)
  1. $$P(\bar X\lt c_\alpha\mid\pmu=\pmu_1)=\beta$$Definição de erro tipo II neste teste.
  2. $$P\Big(Z\lt\frac{\pmu_0+z_{1-\alpha}\psig/\sqrt n-\pmu_1}{\psig/\sqrt n}\Big)=P\Big(Z\lt\frac{\pmu_0-\pmu_1}{\psig/\sqrt n}+z_{1-\alpha}\Big)=\beta$$Substitui-se \(c_\alpha\) e padroniza-se sob \(H_1\).
  3. $$-z_{1-\beta}=\frac{\pmu_0-\pmu_1}{\psig}\sqrt n+z_{1-\alpha}$$O membro direito é o percentil \(z_\beta=-z_{1-\beta}\).
  4. $$\sqrt n=\frac{(-z_{1-\beta}-z_{1-\alpha})\psig}{\pmu_0-\pmu_1}\Rightarrow n=\frac{(z_{1-\alpha}+z_{1-\beta})^2\psig^2}{(\pmu_0-\pmu_1)^2}$$Isolamento e quadrado.
Fórmula · teste

Teste para \(\pmu\) com \(\psig\) desconhecida (t de Student)

$$t_{obs}=\frac{\bar x_{obs}-\pmu_0}{s/\sqrt n}\qquad T\overset{H_0}{\sim}t_{n-1}$$

Direita: rejeitar se \(t_{obs}\ge t_{n-1;1-\alpha}\) (equivale a \(\bar x\ge\pmu_0+t_{n-1;1-\alpha}\,s/\sqrt n\)). Esquerda: \(t_{obs}\le-t_{n-1;1-\alpha}\). Bilateral: \(|t_{obs}|\ge t_{n-1;1-\alpha/2}\), \(p=2P(T\ge|t_{obs}|)\). Requer \(X\) normal.

Fórmula · teste

Teste para uma proporção \(\pp\)

$$z_{obs}=\frac{h_{obs}-\pp_0}{\sqrt{\pp_0\pq_0/n}}\qquad h\overset{H_0}{\sim}N\Big(\pp_0;\sqrt{\tfrac{\pp_0\pq_0}{n}}\Big),\quad n\ge30$$

Direita: \(c_\alpha=\pp_0+z_{1-\alpha}\sqrt{\pp_0\pq_0/n}\). Esquerda: \(\pp_0-z_{1-\alpha}\sqrt{\cdot}\). Bilateral: \(|z_{obs}|\ge z_{1-\alpha/2}\).

No teste usa-se \(\pp_0\pq_0\) (o valor de \(H_0\)); no intervalo usa-se \(h(1-h)\).

Demonstração do valor crítico (direita)
  1. $$P(h\ge c_\alpha\mid\pp=\pp_0)=\alpha\Rightarrow P\Big(Z\ge\frac{c_\alpha-\pp_0}{\sqrt{\pp_0\pq_0/n}}\Big)=\alpha$$Erro tipo I e normalidade de \(h\) sob \(H_0\).
  2. $$c_\alpha=\pp_0+z_{1-\alpha}\sqrt{\frac{\pp_0\pq_0}{n}}$$Percentil e isolamento.
Fórmula · teste

Teste para \(\psig^2\) de uma população normal

\(H_0:\psig^2=\psig_0^2\) vs \(H_1:\psig^2\gt\psig_0^2\) (perda de precisão):

$$u_{obs}=\frac{(n-1)s^2_{obs}}{\psig^2_0}\qquad\text{rechazar si }u_{obs}\ge\chi^2_{n-1;1-\alpha}\ \Leftrightarrow\ s^2_{obs}\ge\frac{\chi^2_{n-1;1-\alpha}\,\psig_0^2}{n-1}$$
Demonstração
  1. $$P(S^2\ge c_\alpha\mid\psig^2=\psig^2_0)=\alpha\Rightarrow P\Big(\frac{(n-1)S^2}{\psig^2_0}\ge\frac{(n-1)c_\alpha}{\psig^2_0}\Big)=\alpha$$Multiplicam-se ambos os membros pela mesma constante.
  2. $$\frac{(n-1)c_\alpha}{\psig^2_0}=\chi^2_{n-1;1-\alpha}\Rightarrow c_\alpha=\frac{\chi^2_{n-1;1-\alpha}\psig^2_0}{n-1}$$\(U\sim\chi^2_{n-1}\); percentil e isolamento.
Laboratório interativo
Gráfico interativo

Regiões de rejeição, α, β e poder

Teste para \(\pmu\) com \(\psig\) conhecida. A curva azul é a distribuição de \(\bar X\) se \(H_0\) é verdadeira; a laranja, se a verdadeira média é \(\pmu_1\). Mova \(\pmu_1\), \(n\), \(\psig\) ou \(\alpha\) e veja como as áreas se repartem. Os valores iniciais são os do exercício de hepcidina (6.2).

α: rejeitar com H₀ verdadeiraβ: não rejeitar com H₁ verdadeiraPoder 1 − βvalor pregião de rejeiçãonão rejeição
Exercícios resolvidos
Exercício 6.1 Livro de exercícios · cap. 6, ex. 3

Arsênio na água: é preciso osmose reversa?

O máximo aceito é 0.05 mg/L. Mediu-se durante 10 dias (mg/L). Há evidência de que se supera o máximo com \(\alpha=0.05\)? E com \(\alpha=0.01\)?

0.0720.0620.0670.0690.0800.0360.0860.0810.0760.022
Resolução passo a passo
  1. \(H_0:\pmu\le0.05\) vs \(H_1:\pmu\gt0.05\) (o equipamento só é instalado com evidência).
  2. \(\bar x=0.0651\), \(s=0.0206\), \(n=10\). $$t_{obs}=\frac{0.0651-0.05}{0.0206/\sqrt{10}}=2.32$$
  3. \(t_{9;0.95}=1.833\); valor crítico em mg/L: \(c_\alpha=0.05+1.833\cdot0.0206/\sqrt{10}=0.0619\). \(\bar x=0.0651\ge0.0619\).
  4. \(p_{asoc}=P(T\ge2.32)=0.0227\).
  5. Com \(\alpha=0.01\): \(t_{9;0.99}=2.821\gt2.32\) e \(p=0.0227\gt0.01\): não se rejeita.
Conclusão. Com 5 % de significância há evidência de que o arsênio médio supera 0.05 mg/L e recomenda-se instalar o equipamento (p = 0.023). Com 1 % a evidência não é suficiente.
Exercício 6.2 Livro de exercícios · cap. 6, ex. 5

Hepcidina em portadores de talassemia

Na população geral a média é 21 ng/mL. Mediu-se em 12 portadores. (a) É menor nos portadores? (\(\alpha=0.05\)). (b) Poder se a verdadeira média é 17 ng/mL (\(\psig=5\)). (c) Que \(n\) dá poder 0.95?

7.25.215.414.116.220.510.813.59.512.111.7523.1
Resolução passo a passo
  1. O gráfico de probabilidade normal do livro mostra pontos alinhados: aceita-se a normalidade. \(H_0:\pmu=21\) vs \(H_1:\pmu\lt21\).
  2. \(\bar x=13.28\), \(s=5.12\): $$t_{obs}=\frac{13.28-21}{5.12/\sqrt{12}}=-5.22\lt -t_{11;0.95}=-1.796,\quad p=0.00014$$
  3. Poder com \(\psig=5\): \(c_\alpha=21-1.645\cdot5/\sqrt{12}=18.63\). $$1-\beta=P(\bar X\le18.63\mid\pmu=17)=P\Big(Z\le\frac{18.63-17}{5/\sqrt{12}}\Big)=P(Z\le1.13)=0.870$$
  4. $$n=\frac{(1.645+1.645)^2\cdot5^2}{(21-17)^2}=16.9\Rightarrow n=17$$
Conclusão. A hepcidina média nos portadores é significativamente menor que 21 ng/mL (p < 0.001). Com 12 pacientes, o teste detecta uma queda para 17 ng/mL com probabilidade 0.87; para 0.95 são necessários 17 pacientes.
Exercício 6.3 Livro de exercícios · cap. 6, ex. 7

Efeitos colaterais de um analgésico

De 440 pacientes com artrite, 23 tiveram algum efeito colateral. Pode-se supor que a porcentagem é menor que 10 %? (\(\alpha=0.05\)). Estimar a proporção com 95 %.

Resolução passo a passo
  1. \(H_0:\pp=0.10\) vs \(H_1:\pp\lt0.10\). \(h=23/440=0.0523\).
  2. $$z_{obs}=\frac{0.0523-0.10}{\sqrt{0.10\cdot0.90/440}}=\frac{-0.0477}{0.0143}=-3.34$$
  3. \(-3.34\lt-1.645\); \(p_{asoc}=P(Z\le-3.34)=0.0004\).
  4. IC 95 %: $$0.0523\pm1.96\sqrt{\frac{0.0523\cdot0.9477}{440}}=0.0523\pm0.0208$$ ou seja \((0.031;\ 0.073)\).
Conclusão. Há evidência de que menos de 10 % dos pacientes sofre efeitos colaterais (p = 0.0004); estima-se entre 3.1 % e 7.3 %.
Exercícios integradores
Exercício 6.4 Livro de exercícios · cap. 6, ex. 4Integrador

Malation: trocar de fornecedor? Tamanho da amostra, teste, poder e IC

Para uma curva de calibração usa-se malation de pureza 99.2 %. Um fornecedor B oferece um produto de maior pureza. A pureza é normal com \(\psig=0.1\) %. (a) Formular as hipóteses. (b) Número mínimo de determinações para ter probabilidade 0.05 de recomendar a troca quando a pureza é igual à habitual, e 0.01 de continuar com o fornecedor habitual quando a de B é maior em 0.15 %. (c) Testar as hipóteses com 10 determinações de B. (d) O poder com 10 determinações é maior ou menor que 0.99? (e) Se \(H_0\) for rejeitada, estimar a pureza de B com IC de 95 %.

99.3599.3799.2599.3299.4499.1899.2299.2899.4199.15
Resolução passo a passo
  1. (a) \(H_0:\pmu=99.2\) % vs \(H_1:\pmu\gt99.2\) %. Só se troca de fornecedor com evidência de maior pureza.
  2. (b) \(\alpha=0.05\) (\(z_{0.95}=1.645\)), \(\beta=0.01\) (\(z_{0.99}=2.326\)) e \(\pmu_1=99.35\): $$n=\frac{(1.645+2.326)^2\cdot0.1^2}{(99.2-99.35)^2}=7.01$$ O livro informa 7 determinações.
  3. (c) \(\bar x=99.297\) %, \(\psig/\sqrt{10}=0.0316\): $$z_{obs}=\frac{99.297-99.2}{0.0316}=3.07\gt z_{0.95}=1.645,\qquad c_\alpha=99.2+1.645\cdot0.0316=99.252$$ \(p_{asoc}=P(Z\ge3.07)=0.0011\). Rejeita-se \(H_0\).
  4. (d) Com 10 determinações (mais que as 7 necessárias) o poder supera 0.99: $$1-\beta=P(\bar X\ge99.252\mid\pmu=99.35)=P\Big(Z\ge\frac{99.252-99.35}{0.0316}\Big)=P(Z\ge-3.10)=0.999$$
  5. (e) $$99.297\pm1.96\cdot0.0316=99.297\pm0.062\Rightarrow(99.24;\ 99.36)\ \%$$
Conclusão. Há evidência de que o produto de B é mais puro (p = 0.001), e o teste tinha poder de sobra para detectá-lo. Sua pureza média está entre 99.24 % e 99.36 % (95 %): recomenda-se a troca de fornecedor.
Exercício 6.5 Livro de exercícios · cap. 6, ex. 9Integrador

Creatinina: exatidão e precisão do método enzimático

Fizeram-se 30 medições repetidas de creatinina em uma solução de 0.8 mg/dL, com \(\bar x=0.81\) mg/dL e \(s=0.025\) mg/dL. (a) Testar a hipótese de que só há erros aleatórios (\(\alpha=0.01\)). (b) A variabilidade máxima aceita é um coeficiente de variação de 5 %. Há evidência para rejeitar que o processo cumpre essa especificação? (\(\alpha=0.05\)).

Resolução passo a passo
  1. (a) Exatidão. “Só erros aleatórios” significa sem erro sistemático: a média das medições é o valor verdadeiro. \(H_0:\pmu=0.8\) vs \(H_1:\pmu\ne0.8\) (bilateral).
  2. $$t_{obs}=\frac{0.81-0.8}{0.025/\sqrt{30}}=2.19\qquad t_{29;0.995}=2.756\qquad p_{asoc}=2P(T\ge2.19)=0.0367$$ Como \(|t_{obs}|\lt2.756\) (e \(p\gt0.01\)), não se rejeita \(H_0\).
  3. (b) Precisão. CV de 5 % sobre 0.8 mg/dL: \(\psig_0=0.05\cdot0.8=0.04\) mg/dL, \(\psig_0^2=0.0016\). \(H_0:\psig^2\le0.0016\) vs \(H_1:\psig^2\gt0.0016\).
  4. $$u_{obs}=\frac{(n-1)s^2}{\psig_0^2}=\frac{29\cdot0.025^2}{0.0016}=11.33\qquad\chi^2_{29;0.95}=42.56\qquad p_{asoc}=0.9987$$ Não se rejeita \(H_0\). O CV observado é \(0.025/0.81=3.1\) %.
Conclusão. Com 1 % de significância não há evidência de erro sistemático (embora com 5 % houvesse, p = 0.037). A precisão cumpre com folga a especificação: o CV observado é 3.1 %.
7

Planejamento de experimentos e duas amostras

Amostras independentes e dependentes; testes clássicos e não paramétricos.

Conceitos
Conceito

Vocabulário do planejamento de experimentos

  • Variável resposta: o que se mede (tempo até desaparecerem os sintomas).
  • Fator: o que distingue as populações comparadas (antibiótico). Níveis: suas modalidades (tetraciclina, penicilina).
  • Tratamento: combinação de níveis aplicada a uma unidade. Unidade experimental: mínima porção de material à qual se aplica um tratamento (paciente).
Conceito

DCA e DBCA: amostras independentes ou dependentes

Delineamento completamente casualizado (DCA): unidades homogêneas, distribuídas ao acaso entre os níveis → amostras independentes. Também surgem ao comparar grupos naturais (mulheres de diferentes etnias).

Delineamento em blocos completos casualizados (DBCA): unidades heterogêneas agrupadas em blocos homogêneos; cada bloco recebe todos os tratamentos ao acaso → amostras dependentes. Caso extremo: a mesma unidade medida antes e depois.

Amostras independentes
Fórmula · teste

Comparação de variâncias: razão F

Coloca-se a variância amostral maior no numerador (se \(s_1^2\gt s_2^2\)): \(H_0:\psig_1^2=\psig_2^2\) vs \(H_1:\psig_1^2\gt\psig_2^2\).

$$F_{obs}=\frac{s^2_1}{s^2_2}\qquad\text{rechazar si }F_{obs}\ge F_{n_1-1;\,n_2-1;\,1-\alpha},\quad p=P(F\ge F_{obs})$$
Demonstração
  1. $$\frac{S_1^2/\psig_1^2}{S_2^2/\psig_2^2}\sim F_{n_1-1;n_2-1}\ \overset{H_0}{\Longrightarrow}\ \frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n_1-1;n_2-1}$$Razão de qui-quadrados sobre seus gl; sob \(H_0\) as variâncias se cancelam.
  2. $$P\Big(\frac{S_1^2}{S_2^2}\ge c_\alpha\Big)=\alpha\Rightarrow c_\alpha=F_{n_1-1;n_2-1;1-\alpha}$$Percentil da F.
Fórmula · teste

Diferença de médias com variâncias conhecidas

$$\bar X_1-\bar X_2\sim N\Big(\pdm;\ \frac{\psig_1^2}{n_1}+\frac{\psig_2^2}{n_2}\Big)\qquad z_{obs}=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{\frac{\psig_1^2}{n_1}+\frac{\psig_2^2}{n_2}}}$$

Notação da unidade 7: o segundo parâmetro da normal é a variância. Se \(H_0\) postula uma diferença \(\delta\ne0\), subtrai-se \(\delta\) no numerador.

Demonstração
  1. Combinação linear de normais independentes: se \(Y_1,\dots,Y_m\) são \(m\) variáveis normais independentes com médias \(\mu_j\) e variâncias \(\sigma_j^2\), e \(a_j\) são constantes reais, a combinação \(W=\sum_{j=1}^m a_jY_j\) é normal: \(W\sim N\big(\sum a_j\mu_j;\sum a_j^2\sigma_j^2\big)\). Com \(a_1=1,\ a_2=-1\) obtém-se a distribuição de \(\bar X_1-\bar X_2\).
  2. $$P(\bar X_1-\bar X_2\ge c_\alpha\mid\pdm=0)=\alpha\Rightarrow c_\alpha=z_{1-\alpha}\sqrt{\tfrac{\psig_1^2}{n_1}+\tfrac{\psig_2^2}{n_2}}$$Padronização e percentil (unilateral à direita).
Fórmula · teste

Variâncias desconhecidas e iguais: t com variância combinada

Primeiro faz-se o teste F. Se não se rejeita a igualdade:

$$s_a^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\qquad t_{obs}=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_a\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}}\overset{H_0}{\sim}t_{n_1+n_2-2}$$

\(s_a^2\) é uma média ponderada das variâncias amostrais. Direita: \(t_{obs}\ge t_{n_1+n_2-2;1-\alpha}\); esquerda: \(\le -t\); bilateral: \(|t_{obs}|\ge t_{n_1+n_2-2;1-\alpha/2}\).

Fórmula · teste

Variâncias desconhecidas e diferentes: teste de Welch

$$t_{obs}=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}\sim t_f\qquad f=\frac{\Big(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\Big)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$$

Mesmas regras de decisão do caso anterior, com \(f\) graus de liberdade.

Fórmula · teste

Duas proporções independentes (amostras grandes)

Sob \(H_0:\pp_1=\pp_2=\pp\), o valor comum é estimado com a frequência da amostra total:

$$h=\frac{f_1+f_2}{n_1+n_2}\qquad z_{obs}=\frac{h_1-h_2}{\sqrt{h(1-h)\Big(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\Big)}}$$
Demonstração
  1. $$h_1-h_2\sim N\Big(\pp_1-\pp_2;\ \frac{\pp_1\pq_1}{n_1}+\frac{\pp_2\pq_2}{n_2}\Big)$$TCL (\(n_i\gt30\)) e combinação linear de normais.
  2. $$\overset{H_0}{\Longrightarrow}\ h_1-h_2\sim N\Big(0;\ \pp\pq\big(\tfrac1{n_1}+\tfrac1{n_2}\big)\Big)$$Com \(\pp_1=\pp_2=\pp\); estima-se \(\pp\) com \(h\).
  3. $$c_\alpha=z_{1-\alpha}\sqrt{h(1-h)\big(\tfrac1{n_1}+\tfrac1{n_2}\big)}$$Erro tipo I, padronização e percentil (direita).
Amostras dependentes
Fórmula · teste

Comparação de médias pareadas: \(\pmd\)

Calcula-se a diferença em cada bloco, \(d_i=x_{1i}-x_{2i}\), e supõe-se \(D\sim N(\pmd;\psig_D^2)\). É um teste t de uma amostra sobre as diferenças:

$$H_0:\pmd=0\qquad t_{obs}=\frac{\bar d_{obs}}{s_D/\sqrt n}\overset{H_0}{\sim}t_{n-1}\qquad c_\alpha=t_{n-1;1-\alpha}\frac{s_D}{\sqrt n}$$
Demonstração
  1. $$\bar D\sim N\Big(\pmd;\frac{\psig^2_D}{n}\Big),\quad \frac{(n-1)S^2_D}{\psig^2_D}\sim\chi^2_{n-1}\Rightarrow T=\frac{\bar D-\pmd}{S_D/\sqrt n}\sim t_{n-1}$$Igual à T de uma amostra.
  2. $$P(\bar D\ge c_\alpha\mid\pmd=0)=\alpha\Rightarrow\frac{c_\alpha}{s_D/\sqrt n}=t_{n-1;1-\alpha}$$Erro tipo I e percentil da t (direita).
Fórmula · teste

Duas proporções com amostras dependentes

Só informam os \(n'=f(A,\bar A)+f(\bar A,A)\) blocos com respostas diferentes. Sob \(H_0:\pp_1=\pp_2\), entre eles a probabilidade de “A com tratamento 1 e não com o 2” é 0.5:

$$h'_1=\frac{f(A,\bar A)}{n'}\qquad z_{obs}=\frac{h'_1-0.5}{\sqrt{0.5\cdot0.5/n'}}\qquad c_\alpha=0.5+z_{1-\alpha}\sqrt{\tfrac{0.5\cdot0.5}{n'}}$$

\(H_1:\pp_1\gt\pp_2\) equivale a \(\pp'_1\gt0.5\) (direita); \(\pp_1\lt\pp_2\) a \(\pp'_1\lt0.5\); \(\ne\) é bilateral.

Testes não paramétricos
Conceito · postos

Wilcoxon soma de postos (independentes, Mann-Whitney)

Quando \(X_1\) ou \(X_2\) não são normais. Hipóteses sobre a localização. Ordenam-se as \(n=n_1+n_2\) observações e atribuem-se postos 1…n (empates: média dos postos).

$$W_1=\sum\text{rangos muestra 1},\quad W_2=\sum\text{rangos muestra 2},\quad W_1+W_2=\frac{n(n+1)}2$$

Se \(H_1\): população 2 deslocada para a direita, rejeitar se \(w_1\le w_{1;\alpha}\) (ou \(w_2\ge w_{2;1-\alpha}\)). Se a 1 está à direita, \(w_1\ge w_{1;1-\alpha}\). Valores críticos de tabela.

Exemplo da apostila: amostras 25, 26, 27, 28, 30 e 29, 31, 32, 35 dão \(w_1=16\), \(w_2=29\), com soma \(45=9\cdot10/2\).

Conceito · postos

Wilcoxon postos sinalizados (dependentes)

Quando \(D\) não é normal. Descartam-se as diferenças nulas, ordenam-se por valor absoluto e atribuem-se postos.

$$T^-=\sum\text{rangos de }d_j\lt0,\quad T^+=\sum\text{rangos de }d_j\gt0,\quad T^-+T^+=\frac{n'(n'+1)}2$$
  • Bilateral: \(T=\min(T^-,T^+)\); rejeitar se \(t_{obs}\le t_\alpha\).
  • \(X_1\) à direita de \(X_2\): rejeitar se \(t^-_{obs}\le t_\alpha\). \(X_2\) à direita: \(t^+_{obs}\le t_\alpha\).
Laboratório interativo
Gráfico interativo · simulação

Duas amostras independentes: da F ao teste t

Defina duas populações normais e o tamanho de cada amostra. O gráfico segue o procedimento da unidade: primeiro o teste F de variâncias (maior em cima) e, segundo seu resultado, o t com variância combinada ou o teste de Welch, bilateral com \(\alpha=0.05\). Valores iniciais parecidos com o exemplo tetraciclina vs penicilina.

Grupo 1Grupo 2Região de rejeição (α = 0.05)valor p
Exercícios resolvidos
Exercício 7.1 Livro de exercícios · dados do cap. 7, ex. 2(a)o livro só pede identificar fator e variável; o teste foi acrescentado

Tetraciclina vs penicilina

Vinte ratos infectados: 10 tratados com tetraciclina e 10 com penicilina. Tempo (h) até desaparecerem os sintomas. Os tempos médios diferem? (\(\alpha=0.05\), populações normais).

T51492542403332366420
P80783553594441498430
Resolução passo a passo
  1. Delineamento: DCA, amostras independentes. \(\bar x_T=39.2\), \(s^2_T=169.96\); \(\bar x_P=55.3\), \(s^2_P=376.90\).
  2. Variâncias (maior em cima): $$F_{obs}=\frac{376.90}{169.96}=2.22\lt F_{9;9;0.95}=3.18\quad(p=0.126)$$ Supõem-se iguais.
  3. $$s_a^2=\frac{9\cdot169.96+9\cdot376.90}{18}=273.43,\quad s_a=16.54$$
  4. \(H_0:\pdm=0\) vs \(H_1:\pdm\ne0\): $$t_{obs}=\frac{39.2-55.3}{16.54\sqrt{0.2}}=-2.18,\quad |t_{obs}|\ge t_{18;0.975}=2.101,\quad p=0.043$$
Conclusão. Com 5 % de significância, o tempo médio de desaparecimento dos sintomas difere entre antibióticos; com tetraciclina é menor (16 h a menos em média).
Exercício 7.2 Livro de exercícios · cap. 7, ex. 17dados de CVF, retomados no cap. 8, ex. 11

Capacidade vital forçada: início vs 6 meses

CVF (%) em 10 crianças no início e aos 6 meses de tratamento. A CVF média melhora? (\(\alpha=0.05\), diferenças normais).

Início94.792.195.291.193.594.295.188.990.187.7
6 meses98.896.594.998.094.993.998.093.195.390.1
d4.14.4−0.36.91.4−0.32.94.25.22.4
Resolução passo a passo
  1. Cada criança é um bloco: amostras dependentes. \(d=\) 6 meses − início. \(H_0:\pmd=0\) vs \(H_1:\pmd\gt0\).
  2. \(\bar d=3.09\), \(s_D=2.34\): $$t_{obs}=\frac{3.09}{2.34/\sqrt{10}}=4.18\ge t_{9;0.95}=1.833,\quad p=0.0012$$
Conclusão. Há evidência de que o tratamento aumenta a CVF média aos 6 meses (aumento médio estimado de 3.1 pontos, p = 0.001). Comparar como amostras independentes ignoraria a variabilidade entre crianças.
Exercício 7.3 Apostila teórica · U7, exemplo de postos sinalizados de Wilcoxon

Postos sinalizados de Wilcoxon em 10 blocos

Dez pares de observações sem normalidade das diferenças. A localização das distribuições difere? (bilateral, \(\alpha=0.05\); valor crítico de tabela para \(n'=10\): \(t_{0.05}=8\)).

BlocoX1X2DPosto
180.096.5−16.58
242.040.02.02
357.246.710.56
492.043.548.59
544.035.58.55
635.029.85.24
750.065.0−15.07
832.034.5−2.53
929.030.5−1.51
1090.029.061.010
Resolução passo a passo
  1. Postos por valor absoluto de \(D\) (não há zeros, \(n'=10\)).
  2. \(t^-=8+7+3+1=19\), \(t^+=2+6+9+5+4+10=36\). Verificação: \(19+36=55=10\cdot11/2\).
  3. \(t_{obs}=\min(19,36)=19\gt t_{0.05}=8\).
Conclusão. Não se rejeita \(H_0\): não há evidência de diferença na localização (com software, p ≈ 0.43).
Exercícios integradores
Exercício 7.4 Livro de exercícios · cap. 7, ex. 7Integrador

Rendimento de duas variedades de soja: F, t e intervalo para a diferença

Compara-se o rendimento de uma variedade de soja de ciclo intermediário e outra de ciclo longo no noroeste argentino, com lotes escolhidos ao acaso na mesma região:

Variedadenx̄ (kg/ha)s (kg/ha)
Ciclo intermediário153001.3201.5
Ciclo longo192741.8174.3

(a) Há evidência de que o rendimento médio difere segundo a variedade? Informar a probabilidade associada. (b) IC de 95 % para a diferença de médias. (c) Pressupostos necessários.

Resolução passo a passo
  1. Amostras independentes (lotes diferentes). Primeiro, as variâncias, com a maior em cima: $$F_{obs}=\frac{201.5^2}{174.3^2}=1.336\lt F_{14;18;0.95}=2.29\qquad p=0.278$$ Não se rejeita \(\psig_1^2=\psig_2^2\): usa-se a variância combinada.
  2. $$s_a^2=\frac{14\cdot201.5^2+18\cdot174.3^2}{32}=34852.5\qquad s_a=186.69$$
  3. \(H_0:\pdm=0\) vs \(H_1:\pdm\ne0\): $$t_{obs}=\frac{3001.3-2741.8}{186.69\sqrt{\frac1{15}+\frac1{19}}}=\frac{259.5}{64.48}=4.02\gt t_{32;0.975}=2.037\qquad p=0.0003$$
  4. (b) $$259.5\pm2.037\cdot64.48=259.5\pm131.3\Rightarrow(128.2;\ 390.8)\ \text{kg/ha}$$ O livro dá (127.95; 391.04) por arredondamento do percentil de tabela.
  5. (c) Rendimento normal nas duas variedades, amostras aleatórias e independentes e variâncias iguais (verificado com o teste F).
Conclusão. Os rendimentos médios diferem (p = 0.0003): a variedade de ciclo intermediário rende entre 128 e 391 kg/ha a mais que a de ciclo longo (95 %). Como o intervalo não contém o 0, coincide com a rejeição de \(H_0\).
Exercício 7.5 Livro de exercícios · cap. 7, ex. 11Integrador

Transfusões com hemácias frescas: médias e proporções

Em um estudo multicêntrico, 1211 pacientes críticos receberam hemácias armazenadas por menos de 8 dias (grupo I) e 1219 hemácias conservadas por mais tempo (grupo II). Compararam-se a hemoglobina basal e a mortalidade aos 90 dias:

GruponHb média (g/dL)DesvioMortes
I12117.691.28430
II12197.761.01448

(a) Pode-se concluir que os grupos não diferem em sua hemoglobina basal? (b) Os autores concluem que as hemácias frescas não diminuem a mortalidade. Comprovar.

Resolução passo a passo
  1. (a) Variâncias. $$F_{obs}=\frac{1.28^2}{1.01^2}=1.606\qquad p\lt0.0001$$ Com amostras tão grandes, até essa diferença é significativa: as variâncias diferem e usa-se o teste de Welch.
  2. Médias (\(H_0:\pdm=0\) vs \(H_1:\pdm\ne0\)): $$t_{obs}=\frac{7.69-7.76}{\sqrt{\frac{1.28^2}{1211}+\frac{1.01^2}{1219}}}=\frac{-0.07}{0.0468}=-1.50\qquad f\approx2297\qquad p=0.135$$ Não se rejeita \(H_0\): os grupos são comparáveis em hemoglobina basal, como se busca em um ensaio randomizado.
  3. (b) Mortalidade. \(h_1=430/1211=0.355\) e \(h_2=448/1219=0.368\). “As frescas diminuem a mortalidade” seria \(H_1:\pp_1\lt\pp_2\). Sob \(H_0\) estima-se a proporção comum com a amostra total: \(h=878/2430=0.361\).
  4. $$z_{obs}=\frac{0.355-0.368}{\sqrt{0.361\cdot0.639\big(\frac1{1211}+\frac1{1219}\big)}}=\frac{-0.0124}{0.0195}=-0.64\qquad p=P(Z\le-0.64)=0.26$$
Conclusão. Os grupos partem da mesma hemoglobina média (p = 0.135) e não há evidência de que as hemácias frescas reduzam a mortalidade (p = 0.26): os dados apoiam a conclusão dos autores.
8

ANOVA: mais de duas amostras

Um fator, efeitos fixos, balanceado, em DCA e DBCA.

Conceitos
Conceito

Análise de variância e notação

Decompõe-se a variabilidade total em fontes para comparar \(I\) médias ao mesmo tempo. Efeitos fixos: interessam exatamente os níveis estudados. Efeitos aleatórios: níveis sorteados de uma população de níveis. Delineamento balanceado: \(J\) observações por nível.

$$\bar Y_{i\cdot}=\frac1J\sum_{j=1}^JY_{ij}\qquad\bar Y_{\cdot\cdot}=\frac1{IJ}\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^JY_{ij}$$

O ponto no subíndice indica que se somou sobre esse índice.

DCA
Fórmula · modelo

Equação do modelo, estimadores e resíduos (DCA)

$$Y_{ij}=\pmi{i}+\varepsilon_{ij}=\pmu+\pai{i}+\varepsilon_{ij},\qquad\sum_{i=1}^I\pai{i}=0,\qquad\varepsilon_{ij}\sim NI(0;\psig^2)$$

\(\pmu\): média geral; \(\pai{i}\): efeito do nível \(i\); \(\varepsilon_{ij}\): erro aleatório.

$$\hat{\pmu}=\bar Y_{\cdot\cdot}\qquad\hat{\pai{i}}=\bar Y_{i\cdot}-\bar Y_{\cdot\cdot}\qquad\hat{\pmi{i}}=\bar Y_{i\cdot}\qquad e_{ij}=Y_{ij}-\bar Y_{i\cdot}$$

Consequência: \(Y_{ij}\sim N(\pmi{i};\psig^2)\). Os resíduos de cada nível somam zero.

Conceito

Pressupostos e sua verificação

  • Normalidade: gráfico de probabilidade normal dos resíduos; os pontos devem se alinhar.
  • Homocedasticidade (\(\psig^2\) constante): resíduos vs níveis (e vs blocos no DBCA) com amplitude semelhante.
  • Independência: garante-se no delineamento por meio de uma casualização correta.

Se não se cumprem: transformar a variável (as conclusões valem para a variável transformada) ou usar alternativas não paramétricas.

Fórmula

Hipóteses e partição da soma de quadrados

$$H_0:\pmi{1}=\dots=\pmi{I}\ \ (\pai{1}=\dots=\pai{I}=0)\qquad H_1:\text{al menos un }\pmi{i}\text{ difiere}$$
$$\underbrace{\sum_i\sum_j(Y_{ij}-\bar Y_{\cdot\cdot})^2}_{SC_{Total},\ IJ-1}=\underbrace{J\sum_i(\bar Y_{i\cdot}-\bar Y_{\cdot\cdot})^2}_{SC_{Trat},\ I-1}+\underbrace{\sum_i\sum_j(Y_{ij}-\bar Y_{i\cdot})^2}_{SC_{Error},\ IJ-I}$$
Demonstração
  1. $$SC_{Total}=\sum_i\sum_j\big[(Y_{ij}-\bar Y_{i\cdot})+(\bar Y_{i\cdot}-\bar Y_{\cdot\cdot})\big]^2$$Soma-se e subtrai-se \(\bar Y_{i\cdot}\).
  2. $$=\sum\sum(Y_{ij}-\bar Y_{i\cdot})^2+\sum\sum(\bar Y_{i\cdot}-\bar Y_{\cdot\cdot})^2+2\sum_i(\bar Y_{i\cdot}-\bar Y_{\cdot\cdot})\sum_j(Y_{ij}-\bar Y_{i\cdot})$$Quadrado do binômio.
  3. $$\sum_j(Y_{ij}-\bar Y_{i\cdot})=J\bar Y_{i\cdot}-J\bar Y_{i\cdot}=0$$O duplo produto se anula; restam \(SC_{Error}+SC_{Trat}\). Os gl cumprem \(IJ-1=(I-1)+(IJ-I)\).
Fórmula · teste

Quadrados médios, estatística F e tabela ANOVA

$$CM_{Trat}=\frac{SC_{Trat}}{I-1}\quad CM_{Error}=\frac{SC_{Error}}{IJ-I}\quad E(CM_{Error})=\psig^2\quad E(CM_{Trat})=\psig^2+\frac{J}{I-1}\sum_i\pai{i}^2$$
$$F=\frac{CM_{Trat}}{CM_{Error}}\overset{H_0}{\sim}F_{I-1;\,IJ-I}\qquad\text{rechazar si }F_{obs}\ge F_{I-1;IJ-I;1-\alpha}\ \text{ o }\ p=P(F\ge F_{obs})\le\alpha$$

A região de rejeição é sempre unilateral à direita: um \(F\) grande indica que os níveis explicam muita variabilidade. Um \(F\) muito menor que 1 pode indicar um fator não controlado.

FVSCglCMFp
Tratamento\(SC_{Trat}\)\(I-1\)\(CM_{Trat}\)\(CM_{Trat}/CM_{Error}\)\(P(F\ge F_{obs})\)
Erro\(SC_{Error}\)\(IJ-I\)\(CM_{Error}\)
Total\(SC_{Total}\)\(IJ-1\)
Demonstração da distribuição F e do valor crítico
  1. $$\frac{SC_{Trat}}{\psig^2}\overset{H_0}{\sim}\chi^2_{I-1},\qquad\frac{SC_{Error}}{\psig^2}\sim\chi^2_{IJ-I}$$\(SC_{Error}=\sum_i(J-1)S^2_{i\cdot}\); sob \(H_0\) todos os \(\pai{i}=0\).
  2. $$F=\frac{SC_{Trat}/[\psig^2(I-1)]}{SC_{Error}/[\psig^2(IJ-I)]}=\frac{CM_{Trat}}{CM_{Error}}\sim F_{I-1;IJ-I}$$Definição de F; cancela-se \(\psig^2\).
  3. $$P(F\ge c_\alpha\mid H_0)=\alpha\Rightarrow c_\alpha=F_{I-1;IJ-I;1-\alpha}$$Percentil da F.
Conceito

Comparações múltiplas

Se se rejeita \(H_0\), busca-se quais médias diferem comparando-as aos pares (\(\pmi{i}=\pmi{j}\) vs \(\ne\)) com o erro tipo I controlado globalmente: Tukey, Scheffé, Dunnett, Bonferroni, Duncan, LSD.

Leitura: níveis com asteriscos alinhados na mesma coluna não diferem; se não compartilham coluna, diferem. No gráfico de intervalos, intervalos que se sobrepõem indicam que não há diferença significativa.

DBCA
Fórmula · modelo

ANOVA em blocos completos casualizados

$$Y_{ij}=\pmu+\pai{i}+\pbj{j}+\varepsilon_{ij}\qquad \hat{\pbj{j}}=\bar Y_{\cdot j}-\bar Y_{\cdot\cdot}\qquad e_{ij}=Y_{ij}-\bar Y_{i\cdot}-\bar Y_{\cdot j}+\bar Y_{\cdot\cdot}$$
$$SC_{Total}=SC_{Trat}+SC_{Bloques}+SC_{Error},\qquad SC_{Bloques}=I\sum_j(\bar Y_{\cdot j}-\bar Y_{\cdot\cdot})^2$$
FVglF
Tratamento\(I-1\)\(CM_{Trat}/CM_{Error}\sim F_{I-1;(I-1)(J-1)}\)
Blocos\(J-1\)\(CM_{Bloq}/CM_{Error}\sim F_{J-1;(I-1)(J-1)}\)
Erro\((I-1)(J-1)\)
Total\(IJ-1\)

Bloquear tira graus de liberdade do erro: só convém se os blocos forem realmente heterogêneos. Como os blocos não são atribuídos ao acaso, o teste do efeito bloco deve ser interpretado com cautela.

Demonstração da partição
  1. $$Y_{ij}-\bar Y_{\cdot\cdot}=(\bar Y_{i\cdot}-\bar Y_{\cdot\cdot})+(\bar Y_{\cdot j}-\bar Y_{\cdot\cdot})+(Y_{ij}-\bar Y_{i\cdot}-\bar Y_{\cdot j}+\bar Y_{\cdot\cdot})$$Somam-se e subtraem-se \(\bar Y_{i\cdot}\), \(\bar Y_{\cdot j}\) e \(\bar Y_{\cdot\cdot}\).
  2. Ao elevar ao quadrado e somar em \(i\) e \(j\), os três duplos produtos se anulam porque os desvios das médias de linha, de coluna e os resíduos somam zero em cada linha e em cada coluna.
  3. Graus de liberdade: $$IJ-1=(I-1)+(J-1)+(I-1)(J-1)$$
Laboratório interativo
Gráfico interativo · simulação

ANOVA: variabilidade entre e dentro dos grupos

Quatro níveis com médias \(\pmi{i}\) e um \(\psig\) comum. As linhas finas são os desvios dentro de cada grupo (\(SC_{Error}\)); as grossas, os desvios de cada média em relação à média geral (\(SC_{Trat}\)). Aproxime as médias ou aumente \(\psig\) e veja como \(F\) cai. Valores iniciais: médias do exercício das aminas (8.3).

Desvio dentro (Y − ȳᵢ.)Desvio entre (ȳᵢ. − ȳ..)Média geral
Exercícios resolvidos
Exercício 8.1 Livro de exercícios · cap. 8, ex. 2

Gases carbônicos em quatro zonas industriais

Cinco leituras por zona (mg/m³). O nível médio difere entre zonas? (\(\alpha=0.05\)).

A0.0470.0390.0510.0480.046
B0.0320.0360.0310.0300.035
C0.0190.0210.0180.0220.017
D0.0410.0370.0380.0470.048
Resolução passo a passo
  1. Modelo \(Y_{ij}=\pmu+\pai{i}+\varepsilon_{ij}\), \(i\)=zona (A–D), \(j\)=leitura (1–5). Os gráficos de resíduos do livro não mostram desvios de normalidade nem de homocedasticidade.
  2. Médias: A 0.0462, B 0.0328, C 0.0194, D 0.0422. Resíduo da 3.ª leitura de B: \(0.031-0.0328=-0.0018\).
  3. FVSCglCMFp
    Zona0.00212730.00070950.28<0.0001
    Erro0.000226160.0000141
    Total0.00235319
    \(F_{3;16;0.95}=3.24\).
  4. Scheffé (α = 0.05): C (0.0194) < B (0.0328) < D (0.0422) = A (0.0462).
Conclusão. Há efeito zona (p < 0.0001). As zonas A e D têm os níveis mais altos e não diferem entre si; B é intermediária e C a menos contaminada.
Exercício 8.2 Livro de exercícios · cap. 8, ex. 4

Soluções de lavagem em recipientes de leite (DBCA)

Três soluções, um ensaio de cada uma por dia durante 6 dias (cada dia é um bloco). Número de colônias. Trabalhar com \(\alpha=0.01\) e comparar com a análise sem blocos.

SoluçãoD1D2D3D4D5D6
1132218392219
2162417442528
354122715
Resolução passo a passo
  1. Fator: solução (3 níveis); bloco: dia (6); resposta: número de colônias. Modelo \(Y_{ij}=\pmu+\pai{i}+\pbj{j}+\varepsilon_{ij}\).
  2. FVSCglCMFp
    Solução926.782463.3944.89<0.0001
    Dia1118.945223.7921.68<0.0001
    Erro103.221010.32
    Total2148.9417
    \(F_{2;10;0.99}=7.56\): rejeita-se \(H_0\).
  3. Scheffé (α = 0.01): solução 3 (9.0) < soluções 1 (22.2) e 2 (25.7), que não diferem.
  4. Sem blocos, a SC de dias passa para o erro: \(SC_{Error}=1222.17\), 15 gl, \(CM=81.48\), \(F=5.69\), \(p=0.0145\gt0.01\) (\(F_{2;15;0.99}=6.36\)).
Conclusão. A solução 3 é a que mais retarda o crescimento bacteriano. O efeito dia é significativo: sem bloquear, com α = 0.01 não se teria detectado diferença entre soluções.
Exercício 8.3 Livro de exercícios · cap. 8, ex. 8

Aminas antifúngicas sobre fungos xilófagos

Crescimento micelial (cm) com três aminas e um controle, 6 réplicas. Dados \(CM_{Trat}=48.5556\) e \(SC_{Error}=19.9467\), completar a tabela e concluir (\(\alpha=0.05\)).

Controle8.610.512.510.311.49.3
DMA48.39.67.78.18.87.5
DMA125.66.43.75.85.05.3
DMA163.94.53.64.05.63.6
Resolução passo a passo
  1. \(I=4\), \(J=6\): gl Trat = 3, gl Erro = 20, gl Total = 23. \(SC_{Trat}=3\cdot48.5556=145.67\).
  2. \(CM_{Error}=19.9467/20=0.9973\); \(F=48.5556/0.9973=48.69\).
    FVSCglCMFp
    Tratamento145.667348.55648.69<0.0001
    Erro19.947200.997
    Total165.61323
  3. Tukey: diferença mínima \(q_{4;20;0.05}\sqrt{CM_E/J}=3.958\cdot0.408=1.61\). DMA16 (4.20) e DMA12 (5.30) diferem em 1.10: não significativo. DMA4 (8.33) e Controle (10.43) diferem de todos.
Conclusão. As três aminas reduzem o crescimento em relação ao controle (p < 0.0001), e as de cadeia média e longa são as mais efetivas. Os dados apoiam a afirmação dos autores.
Exercícios integradores
Exercício 8.4 Livro de exercícios · cap. 8, ex. 5Integrador

Paracetamol: os cinco analistas medem o mesmo?

Comprimidos foram moídos até pó fino homogêneo e cada um de cinco analistas fez seis determinações do conteúdo de paracetamol (% p/p). (a) Identificar fator, níveis e variável. (b) Escrever a equação do modelo. (c) Completar a análise e concluir, com comparações de Tukey (\(\alpha=0.05\)).

A84.3284.5184.6384.6184.6484.51
B84.2484.2584.4184.1384.0084.30
C84.2984.4084.6884.2884.4084.36
D84.1484.2284.0284.4884.2784.33
E84.5084.2084.4984.4084.1184.06
Resolução passo a passo
  1. (a) Fator: analista, com 5 níveis (A a E). Variável resposta: conteúdo de paracetamol (% p/p). As unidades são alíquotas de um mesmo pó homogêneo: delineamento completamente casualizado, \(I=5\), \(J=6\).
  2. (b) \(Y_{ij}=\pmu+\pai{i}+\varepsilon_{ij}\), com \(\varepsilon_{ij}\sim NI(0;\psig^2)\); \(\pai{i}\) é o efeito do analista \(i\). \(H_0:\pmi{A}=\dots=\pmi{E}\).
  3. (c) Os gráficos de resíduos do livro não mostram desvios de normalidade nem de homocedasticidade.
    FVSCglCMFp
    Analista0.408040.10204.290.0089
    Erro0.5948250.0238
    Total1.002829
    \(F_{obs}=4.29\gt F_{4;25;0.95}=2.76\): rejeita-se \(H_0\).
  4. Tukey. Diferença mínima significativa: $$q_{5;25;0.05}\sqrt{CM_{Error}/J}=4.153\sqrt{0.0238/6}=0.262$$ Médias: B 84.222, D 84.243, E 84.293, C 84.402, A 84.537. Só A − B = 0.315 e A − D = 0.293 superam 0.262. Grupos homogêneos: {B, D, E, C} e {E, C, A}.
Conclusão. Os analistas não obtêm em média o mesmo resultado (p = 0.009): A mede mais que B e D, e não há evidência de diferenças entre os demais pares. Convém revisar o procedimento desses analistas.
Exercício 8.5 Livro de exercícios · cap. 8, ex. 9Integrador

Metilmercúrio em peixe: três técnicas em blocos

Comparam-se três técnicas: absorção atômica de vapor frio (A), emissão óptica (B) e espectrometria de massas (C). Em cada uma de 8 amostras de músculo de peixe mediu-se a concentração com as três (ng/g). (a) Equação do modelo. (b) Hipótese nula. (c) Pressupostos e resíduo da observação 11.3. (d) Quadro ANOVA e Scheffé. (e) O que se teria concluído sem considerar a variação entre amostras?

Amostra12345678
A10.215.89.328.533.651.221.541.5
B11.316.37.035.428.360.319.239.2
C14.520.410.137.241.265.829.651.2
Resolução passo a passo
  1. (a) Cada amostra de peixe é um bloco (recebe as três técnicas): DBCA com \(I=3\) técnicas e \(J=8\) blocos. \(Y_{ij}=\pmu+\pai{i}+\pbj{j}+\varepsilon_{ij}\), \(\varepsilon_{ij}\sim NI(0;\psig^2)\).
  2. (b) \(H_0:\pmi{A}=\pmi{B}=\pmi{C}\): as três técnicas medem em média o mesmo.
  3. (c) Pressupostos: erros normais, independentes e de variância constante entre técnicas e blocos. Para 11.3 (técnica B, amostra 1): $$e_{21}=Y_{21}-\bar Y_{2\cdot}-\bar Y_{\cdot1}+\bar Y_{\cdot\cdot}=11.3-27.125-12.0+29.108=1.283$$
  4. (d)
    FVSCglCMFp
    Técnica260.362130.1812.710.0007
    Amostra6123.267874.7585.43<0.0001
    Erro143.361410.24
    Total6526.9823
    \(F_{2;14;0.95}=3.74\): rejeita-se \(H_0\). Scheffé: A (26.45) e B (27.13) formam um grupo; C (33.75) dá valores maiores.
  5. (e) Sem blocos, a SC de amostras passa para o erro: \(SC_{Error}=143.36+6123.26=6266.62\) com 21 gl, \(CM_{Error}=298.41\), \(F=130.18/298.41=0.44\), \(p=0.65\). Não se detectaria nenhuma diferença.
Conclusão. A espectrometria de massas dá em média concentrações maiores que as outras duas técnicas, que não diferem entre si. A variabilidade entre amostras de peixe é enorme: sem o delineamento em blocos esse efeito teria ficado oculto.
9

Regressão e correlação linear

Reta de regressão, inferência sobre seus coeficientes, R² e coeficiente de Pearson.

Conceitos
Conceito

Regressão vs correlação

Regressão: uma variável aleatória resposta \(Y\) depende de uma variável controlada explicativa \(x\) (fixada pelo pesquisador). Ex.: absorbância em função da concentração de um padrão.

Correlação: duas variáveis aleatórias medidas na mesma unidade, sem papéis; interessa a intensidade da relação (peso e altura; sódio medido por dois métodos).

Sempre se começa pelo diagrama de dispersão. Uma relação determinística (\(y=5000+2500x\)) não deixa variabilidade; uma estocástica sim, e requer um modelo com erro.

Regressão linear simples
Fórmula · modelo

Modelo de regressão linear simples

$$Y_i=\pa+\pb x_i+\varepsilon_i,\qquad\varepsilon_i\sim NI(0;\psig^2)\qquad\Longrightarrow\qquad Y_i\sim N(\pmyxi{i}=\pa+\pb x_i;\ \psig^2)$$
  • \(\pa\): intercepto, média de \(Y\) quando \(x=0\) (pode não ter sentido se 0 está fora da faixa).
  • \(\pb\): inclinação ou coeficiente de regressão, mudança média de \(Y\) por aumento unitário de \(x\): \(\pmyxi{i+1}-\pmyxi{i}=\pb\).
  • A reta teórica \(\pmyx=\pa+\pb x\) passa pelas médias de \(Y\) em cada \(x\); todas as populações têm a mesma variância \(\psig^2\).
Fórmula · estimação

Mínimos quadrados

$$\hat y=a+bx\qquad b=\frac{\sum x_iy_i-n\bar x\bar y}{(n-1)s^2_x}\qquad a=\bar y-b\bar x\qquad e_i=y_i-\hat y_i$$

São os valores que minimizam a soma dos resíduos ao quadrado: a reta que passa o mais perto possível de todos os pontos ao mesmo tempo.

Demonstração (equações normais)
  1. $$SC_{Error}(a,b)=\sum(y_i-a-bx_i)^2\to\min$$Critério de mínimos quadrados.
  2. $$\frac{\partial}{\partial a}=-2\sum(y_i-a-bx_i)=0\Rightarrow\sum y_i=na+b\sum x_i\Rightarrow a=\bar y-b\bar x$$Derivada em relação a \(a\) igualada a zero.
  3. $$\frac{\partial}{\partial b}=-2\sum x_i(y_i-a-bx_i)=0\Rightarrow\sum x_iy_i=a\sum x_i+b\sum x_i^2$$Derivada em relação a \(b\).
  4. $$\sum x_iy_i=(\bar y-b\bar x)n\bar x+b\sum x_i^2\Rightarrow b=\frac{\sum x_iy_i-n\bar x\bar y}{\sum x_i^2-n\bar x^2}=\frac{\sum x_iy_i-n\bar x\bar y}{(n-1)s_x^2}$$Substitui-se \(a\) e isola-se; \(\sum x_i^2-n\bar x^2=(n-1)s^2_x\).
Fórmula · estimação

Estimação de \(\psig^2\) e distribuição de \(A\) e \(B\)

$$\hat{\psig}^2=CM_{Error}=\frac{\sum e_i^2}{n-2}\qquad\frac{(n-2)CM_{Error}}{\psig^2}\sim\chi^2_{n-2}$$
$$B\sim N\Big(\pb;\ \frac{\psig^2}{(n-1)s^2_x}\Big)\qquad A\sim N\Big(\pa;\ \psig^2\Big[\frac1n+\frac{\bar x^2}{(n-1)s^2_x}\Big]\Big)$$

Divide-se por \(n-2\) porque se estimaram dois parâmetros. \(A\) e \(B\) são não viesados e consistentes.

Fórmula · IC

Intervalos de confiança para \(\pb\), \(\pa\) e \(\pmyxi{0}\)

$$\pb:\ b\pm t_{n-2;1-\alpha/2}\sqrt{\frac{CM_{Error}}{(n-1)s^2_x}}\qquad\pa:\ a\pm t_{n-2;1-\alpha/2}\sqrt{CM_{Error}\Big(\frac1n+\frac{\bar x^2}{(n-1)s^2_x}\Big)}$$
$$\pmyxi{0}:\ \hat y_0\pm t_{n-2;1-\alpha/2}\sqrt{CM_{Error}\Big(\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{(n-1)s^2_x}\Big)}$$

A precisão de \(\hat y_0\) piora ao se afastar \(x_0\) de \(\bar x\). Só se estima dentro da faixa de \(x\) estudada (não extrapolar).

Demonstração do IC para \(\pb\)
  1. $$T=\frac{B-\pb}{\sqrt{CM_{Error}/[(n-1)s^2_x]}}\sim t_{n-2}$$Padroniza-se \(B\) e substitui-se \(\psig^2\) por \(CM_{Error}\).
  2. $$P\big(-t_{n-2;1-\alpha/2}\le T\le t_{n-2;1-\alpha/2}\big)=1-\alpha$$Dois valores que deixam \(\alpha/2\) em cada cauda.
  3. $$P\Big(B-t\sqrt{\tfrac{CM_E}{(n-1)s^2_x}}\le\pb\le B+t\sqrt{\tfrac{CM_E}{(n-1)s^2_x}}\Big)=1-\alpha$$Multiplica-se, subtrai-se \(B\) e multiplica-se por \(-1\).
Conceito

Adequação do modelo: análise de resíduos

  • Linearidade: resíduos vs \(x\) sem padrão curvo.
  • Normalidade: gráfico de probabilidade normal dos resíduos alinhado.
  • Homocedasticidade: resíduos vs \(x\) dentro de uma faixa de largura constante (um funil indica variância crescente).
  • Independência: garante-se com o delineamento (mesmo equipamento, unidades diferentes, sem tendência temporal).
Fórmula

Partição da variabilidade e \(R^2\)

$$\sum(Y_i-\bar Y)^2=\sum(Y_i-\hat Y_i)^2+\sum(\hat Y_i-\bar Y)^2\quad\Longrightarrow\quad SC_{Total}=SC_{Error}+SC_{Reg}$$
$$R^2=\frac{SC_{Reg}}{SC_{Total}}=1-\frac{SC_{Error}}{SC_{Total}},\qquad0\le R^2\le1$$

Proporção da variabilidade de \(Y\) explicada pela reta. \(R^2=1\): ajuste perfeito; \(R^2=0\): reta horizontal \(\hat y=\bar y\). Um \(R^2\) alto não garante linearidade: sempre olhar os resíduos.

Fórmula · teste

Testes para \(\pb\) (ANOVA e t) e para \(\pa\)

$$H_0:\pb=0\qquad F=\frac{CM_{Reg}}{CM_{Error}}\overset{H_0}{\sim}F_{1;n-2},\quad E(CM_{Reg})=\psig^2+\pb^2(n-1)s^2_x$$
$$t_{obs}=\frac{b-0}{\sqrt{CM_{Error}/[(n-1)s^2_x]}}\qquad t_{obs}=\frac{a-0}{\sqrt{CM_{Error}\big(\frac1n+\frac{\bar x^2}{(n-1)s^2_x}\big)}}\qquad T\overset{H_0}{\sim}t_{n-2}$$

A ANOVA só testa \(\pb\ne0\); o t permite unilaterais. No bilateral \(t_{obs}^2=F_{obs}\) e os p coincidem. Para \(\pa\) costuma interessar se a reta passa pela origem.

FVSCglCMF
Regressão\(SC_{Reg}\)1\(SC_{Reg}/1\)\(CM_{Reg}/CM_{Error}\)
Erro\(SC_{Error}\)\(n-2\)\(SC_{Error}/(n-2)\)
Total\(SC_{Total}\)\(n-1\)
Demonstração do valor crítico (t, direita)
  1. $$P(B\ge c_\alpha\mid\pb=0)=\alpha\Rightarrow P\Big(T\ge\frac{c_\alpha-0}{\sqrt{CM_E/[(n-1)s^2_x]}}\Big)=\alpha$$Erro tipo I e construção da T.
  2. $$c_\alpha=t_{n-2;1-\alpha}\sqrt{\frac{CM_{Error}}{(n-1)s^2_x}}$$Percentil da t e isolamento.
Correlação linear
Fórmula

Covariância e coeficiente de Pearson

$$\class{p-rho}{\sigma_{XY}}=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]\qquad S_{XY}=\frac1{n-1}\sum(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$$
$$\prho=\frac{\class{p-rho}{\sigma_{XY}}}{\sigma_X\sigma_Y}\qquad r=\frac{S_{XY}}{S_XS_Y}\qquad -1\le\prho\le1$$
  • A covariância dá a direção, mas não é limitada e depende das unidades; \(\prho\) corrige as duas coisas.
  • \(\prho=\pm1\): relação linear perfeita. Independência ⇒ \(\prho=0\), mas \(\prho=0\) não implica independência (pode haver relação não linear).
  • Guia prático: \(|r|\lt0.5\) fraca; \(0.5\le|r|\lt0.8\) moderada; \(|r|\ge0.8\) forte.
Fórmula

As duas retas de regressão

$$\hat y=a_1+b_1x,\ \ b_1=\frac{\sum x_iy_i-n\bar x\bar y}{(n-1)s^2_x}\qquad\hat x=a_2+b_2y,\ \ b_2=\frac{\sum x_iy_i-n\bar x\bar y}{(n-1)s^2_y}$$
$$r=\pm\sqrt{b_1b_2}\qquad r^2=R^2$$

\(b_1\) e \(b_2\) têm o mesmo sinal. Com \(|r|=1\) as retas coincidem; com \(r=0\) são perpendiculares (\(\hat y=\bar y\), \(\hat x=\bar x\)).

Laboratório interativo
Gráfico interativo

Regressão por mínimos quadrados: arraste os pontos

Arraste qualquer ponto ou toque em um lugar vazio para adicionar um. A reta, os resíduos, a faixa de confiança de 95 % para \(\pmyx\), \(R^2\), \(r\) e o teste de \(\pb=0\) são recalculados na hora. Experimente afastar um único ponto da reta e veja quanto muda a inclinação.

Observaçõesŷ = a + bxResíduosFaixa IC 95 %x̂ = a₂ + b₂y
Exercícios resolvidos
Exercício 9.1 Livro de exercícios · cap. 9, ex. 2

Curva de calibração de amido em açúcar

Absorbância de padrões de amido (mg/kg). (a) Reta de mínimos quadrados. (b) Resíduo em \(x=100\). (c) A reta passa pela origem? (\(\alpha=0.05\)).

x012.520100200250350500600
e0.0250.0310.0370.0730.1250.1480.2000.2700.322
Resolução passo a passo
  1. \(n=9\), \(\bar x=225.83\), \(\bar y=0.13678\), \((n-1)s^2_x=386550\), \(\sum x_iy_i=468.6275\). $$b=\frac{468.6275-9\cdot225.83\cdot0.13678}{386550}=0.000493\qquad a=0.13678-0.000493\cdot225.83=0.0254$$
  2. \(\hat y(100)=0.0254+0.0493=0.0747\); \(e=0.073-0.0747=-0.0017\).
  3. \(CM_{Error}=1.6245\times10^{-5}/7=2.32\times10^{-6}\). $$t_{obs}=\frac{0.0254}{\sqrt{2.32\times10^{-6}\big(\frac19+\frac{225.83^2}{386550}\big)}}=\frac{0.0254}{0.000751}=33.83$$ \(t_{7;0.975}=2.365\), p < 0.0001.
Conclusão. \(\hat y=0.0254+0.000493\,x\). Rejeita-se \(\pa=0\): a reta não passa pela origem (há absorbância de fundo de cerca de 0.025 unidades). Cada mg/kg de amido aumenta a absorbância em média 0.000493.
Exercício 9.2 Livro de exercícios · cap. 9, ex. 3

Cafeína por HPLC: calibração e predição inversa

Área do pico vs concentração de cafeína (ppm). (a) Reta. (b) Testar \(\pb=0\) (\(\alpha=0.05\)). (c) \(R^2\). (d) Concentração para uma área de 520. (e) E para 2500?

ppm2468101216
Área127252391497611756999
Resolução passo a passo
  1. \(\bar x=8.286\), \(\bar y=519\), \((n-1)s^2_x=139.43\): \(b=62.02\), \(a=5.08\). $$\hat y=5.08+62.02\,x$$
  2. FVSCglCMFp
    Regressão53638915363895763.4<0.0001
    Erro465.34593.07
    Total5368546
    $$t_{obs}=\frac{62.02}{\sqrt{93.07/139.43}}=\frac{62.02}{0.817}=75.92,\qquad 75.92^2=5763=F_{obs}$$
  3. \(R^2=536389/536854=0.9991\).
  4. \(x=(520-5.08)/62.02=8.30\) ppm.
  5. Para 2500 daria ≈ 40 ppm, muito fora da faixa estudada (2 a 16 ppm): não é confiável extrapolar.
Conclusão. Há regressão linear significativa e a reta explica 99.9 % da variabilidade da área. Uma amostra com área 520 tem cerca de 8.3 ppm de cafeína.
Exercício 9.3 Livro de exercícios · cap. 9, ex. 9

Coexpressão de dois genes em Arabidopsis

Expressão de RNAm de dois genes em 10 condições experimentais. As duas variáveis são aleatórias: analisar sua associação.

Gene 1445128472330452031009113218948342300
Gene 290451694365343092836981196013850203942039425290
Resolução passo a passo
  1. É um problema de correlação (sem variável controlada). O diagrama de dispersão mostra relação linear direta.
  2. \(\bar x=1286.9\), \(s_x=881.5\); \(\bar y=15903.6\), \(s_y=8555.8\); \(S_{XY}=6\,923\,846\). $$r=\frac{6\,923\,846}{881.5\cdot8555.8}=0.918$$
  3. Retas: \(\hat y=4437.39+8.910\,x\) e \(\hat x=-217.34+0.0946\,y\). Verificação: \(\sqrt{8.910\cdot0.0946}=0.918\).
  4. \(r^2=0.843\).
Conclusão. Associação linear direta e forte (\(r=0.918\)): os genes apresentam coexpressão, e 84 % da variabilidade de um se associa linearmente ao outro.
Exercícios integradores
Exercício 9.4 Livro de exercícios · cap. 9, ex. 5Integrador

Degradação de um medicamento: escolher o modelo e predizer

O rótulo de uma solução declara 1.5 % de princípio ativo, mas no início do experimento (dia 0) mediu-se 1.25 %. Acompanhou-se a concentração durante 25 dias:

Dias0510152025
C (%)1.251.040.870.720.600.50

O processo é de ordem 0 se \(C\) é linear em \(t\); de ordem 1 se \(\ln C\) o é (\(C_t=C_0e^{-kt}\)); de ordem 2 se \(1/C\) o é. (a) Determinar a ordem. (b) Estimar a constante de velocidade \(k\). (c) Quanto tempo passou desde a fabricação até o dia 0? (d) Meia-vida e tempo para que a concentração caia 10 % em relação ao rótulo. (e) Concentração aos 10 dias.

Resolução passo a passo
  1. (a) Ajustam-se as três retas por mínimos quadrados:
    ModeloRetaR²Resíduos
    Ordem 0: C1.2029 − 0.02983 t98.30 %curvatura (+ − − − − +)
    Ordem 1: ln C0.22374 − 0.03669 t99.99 %sem padrão
    Ordem 2: 1/C0.7310 + 0.04774 t98.25 %curvatura (+ − − − − +)
    Os três \(R^2\) são altos, mas só o de ordem 1 tem resíduos sem padrão curvo. A reação é de ordem 1.
  2. (b) A inclinação de \(\ln C\) em função de \(t\) é \(-k\): \(k=0.03669\) dia⁻¹. O intercepto dá \(\hat C_0=e^{0.22374}=1.251\) %.
  3. (c) Busca-se \(t\) tal que \(C=1.5\): $$\ln1.5=0.22374-0.03669\,t\Rightarrow t=\frac{0.22374-0.40547}{0.03669}=-4.95$$ O medicamento foi fabricado cerca de 5 dias antes do início.
  4. (d) Meia-vida (de 1.5 % a 0.75 %): \(t_{1/2}=\ln2/k=18.9\approx19\) dias. Cair 10 % em relação ao rótulo é chegar a 1.35 %: $$t=\frac{\ln(1.5/1.35)}{k}=\frac{0.1054}{0.03669}=2.9\ \text{dias após a fabricação}$$ Na escala do experimento é \(t=-2.1\): cerca de 2 dias antes do dia 0, que é a resposta do livro.
  5. (e) $$\hat C(10)=e^{0.22374-0.03669\cdot10}=e^{-0.1432}=0.87\ \%$$
Conclusão. A degradação é de primeira ordem, com \(k=0.0367\) dia⁻¹ e meia-vida de cerca de 19 dias. O produto já tinha perdido mais de 10 % do declarado quando o experimento começou: isso ocorreu 3 dias após a fabricação.
Exercício 9.5 Livro de exercícios · cap. 9, ex. 11Integrador

Chumbo em sucos por dois métodos: correlação e teste pareado

Mediu-se o chumbo (µg/mL) em 10 sucos com um método potenciométrico novo (APR) e por absorção atômica (EAA). (a) Diagrama de dispersão. (b) Estimar o parâmetro que mede a intensidade da relação. (c) Os dois métodos medem, em média, a mesma concentração? (\(\alpha=0.05\)).

Suco12345678910
EAA35757580125205205215240350
APR35708080120200220200250330
Resolução passo a passo
  1. (a) Ambas são variáveis aleatórias medidas no mesmo suco, sem variável controlada: é um problema de correlação. Os pontos se alinham sobre uma reta crescente.
  2. (b) \(\bar x_{EAA}=160.5\), \(s_{EAA}=98.47\); \(\bar x_{APR}=158.5\), \(s_{APR}=95.40\); \(S_{XY}=9342.5\). $$r=\frac{S_{XY}}{S_XS_Y}=\frac{9342.5}{98.47\cdot95.40}=0.9945$$ Associação linear direta e muito forte.
  3. (c) Uma correlação alta não garante que os métodos coincidam: poderiam diferir em um valor constante. Para comparar médias usa-se o teste pareado (cada suco é um bloco). Com \(d=\text{EAA}-\text{APR}\): 0, 5, −5, 0, 5, 5, −15, 15, −10, 20, tem-se \(\bar d=2.0\) e \(s_D=10.59\).
  4. \(H_0:\pmd=0\) vs \(H_1:\pmd\ne0\): $$t_{obs}=\frac{2.0}{10.59/\sqrt{10}}=0.60\lt t_{9;0.975}=2.262\qquad p=0.565$$
Conclusão. Os métodos estão fortemente correlacionados (r = 0.9945) e não há evidência de que difiram em média (p = 0.57): o novo método APR concorda com a absorção atômica.
Σ

Quadro resumo

Parâmetro, estimador, variável pivô e distribuição. As linhas são marcadas ao escolher um parâmetro.

ParâmetroEstimadorVariável para IC / testeDistribuiçãoPressupostosUnidade
\(\pmu\) (\(\psig\) conhecida)\(\bar X\)\(\frac{\bar X-\pmu}{\psig/\sqrt n}\)\(N(0;1)\)Normal ou \(n\gt30\)5, 6
\(\pmu\) (\(\psig\) desconhecida)\(\bar X\)\(\frac{\bar X-\pmu}{S/\sqrt n}\)\(t_{n-1}\)Normal5, 6
\(\psig^2\)\(S^2\)\(\frac{(n-1)S^2}{\psig^2}\)\(\chi^2_{n-1}\)Normal5, 6
\(\pp\)\(h\)IC: \(\frac{h-\pp}{\sqrt{h(1-h)/n}}\); teste: \(\frac{h-\pp_0}{\sqrt{\pp_0\pq_0/n}}\)\(N(0;1)\) aprox.\(n\ge30\)5, 6
\(\psig_1^2/\psig_2^2\)\(S_1^2/S_2^2\)\(\frac{S_1^2}{S_2^2}\)\(F_{n_1-1;n_2-1}\)Normais indep.7
\(\pdm\) (\(\psig_i\) conhecidas)\(\bar X_1-\bar X_2\)\(\frac{\bar X_1-\bar X_2}{\sqrt{\psig_1^2/n_1+\psig_2^2/n_2}}\)\(N(0;1)\)Normais ou TCL7
\(\pdm\) (iguais, desc.)\(\bar X_1-\bar X_2\)\(\frac{\bar X_1-\bar X_2}{s_a\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\)\(t_{n_1+n_2-2}\)Normais, F não rejeita7
\(\pdm\) (diferentes)\(\bar X_1-\bar X_2\)\(\frac{\bar X_1-\bar X_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}\)\(t_f\) (Welch)Normais7
\(\pp_1-\pp_2\)\(h_1-h_2\)\(\frac{h_1-h_2}{\sqrt{h(1-h)(1/n_1+1/n_2)}}\)\(N(0;1)\) aprox.\(n_i\gt30\)7
\(\pmd\)\(\bar D\)\(\frac{\bar D}{S_D/\sqrt n}\)\(t_{n-1}\)\(D\) normal7
\(\pmi{1}=\dots=\pmi{I}\)\(\bar Y_{i\cdot}\)\(CM_{Trat}/CM_{Error}\)\(F_{I-1;IJ-I}\) (DCA), \(F_{I-1;(I-1)(J-1)}\) (DBCA)\(\varepsilon\sim NI(0;\psig^2)\)8
\(\pb\)\(b\)\(\frac{b-\pb}{\sqrt{CM_E/[(n-1)s_x^2]}}\) · \(CM_{Reg}/CM_E\)\(t_{n-2}\) · \(F_{1;n-2}\)\(\varepsilon\sim NI(0;\psig^2)\)9
\(\pa\)\(a\)\(\frac{a-\pa}{\sqrt{CM_E(1/n+\bar x^2/[(n-1)s_x^2])}}\)\(t_{n-2}\)Idem9
\(\prho\)\(r\)Descritivo no curso—Relação linear9
≡

Notação

O que significa cada símbolo da apostila. Toque em um para destacá-lo em todas as fórmulas. A notação segue o curso original em espanhol: SC = soma de quadrados (SQ), CM = quadrado médio (QM), gl = graus de liberdade, FV = fonte de variação, DCA = delineamento completamente casualizado, DBCA = delineamento em blocos completos casualizados.